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数值分析——误差的来源与分类、误差的基本概念（绝对误差、相对误差、有效数字）

news 2025/8/31 8:35:37

误差

误差分析实际上是让数据更加可靠，更加有效，从理论分析上就是考虑误差的收敛性，稳定性。

误差的来源与分类

模型误差

数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差

观测误差

一些由观测得到的物理量，比如温度、长度等，这些观测值也存在误差，这种误差称为观测误差.

模型误差与观测误差不能改变

截断误差

在计算中，通过有限过程的计算结果代替无限过程的结果而造成的误差，称为截断误差. 这是计算方法本身存在的误差，所以也称为方法误差.
eg:

当用计算机求时，只能选有限个项作为e^x的近似值，也就是：
在这里插入图片描述
由泰勒定理，部分和S_n(x）作为e^x的近似值的余项是：

在这里插入图片描述
其中，

R_n（x）就是把前n项和S_n(x)作为e^x的近似值产生的截断误差。

舍入误差

计算过程中取有限位数字进行运算而引起的误差称为舍入误差.。
eg:
用 3.14159265358 近似代替 π，产生的误差
R=π-3.14159265358=0.000000000009793····
就是舍入误差

误差的基本概念

绝对误差

假设x^*为准确值，x是 x^*的一个近似值，那么近似值x的绝对误差e(x)就是：

e(x)=x^*-x
绝对误差=准确值-近似值

错误的英语是error，所以用首字母e表示误差

绝对误差限

精确值x^*是未知的，只知道范围即可，也就是：
在这里插入图片描述

有时候也可以表示为：

在这里插入图片描述

相对误差

假设x^*是准确值，x是x^*的一个近似值，那么e_r(x)相对误差就是:

在这里插入图片描述

e_r(x)=e(x) / x^*
相对误差=绝对误差 / 精确值

通常，x的相对误差的计算为：
在这里插入图片描述

也就是原来相对误差计算式子中的分母x^* 。因为难以知晓,所以用一个近似值x来代替精确值x^*。两者之间将等式做差可以知道它们相差的是一个高阶无穷小量，所以可以近似的看为是相等的关系

相对误差限

在这里插入图片描述

有效数

近似值x的绝对误差限是其某一位的半个单位，且高位直到x的第一位非零数字之间共有n维，那么就称这个x有n位有效数字，这n位有效数字来表示的近似值就是有效数。
概念有点难以理解，那么就举个🌰

假设一个近似值x为：
请添加图片描述
如果有

那么x就有n个有效数字。

也就是说要从左边第一个不是 0 的数字往右边一直数到第 t 位，中间有多少位那么就是有多少个有效数字，此时就可以用这些有效数字表示近似值x了

eg:
π = 3.1415926····

假如，令 x₁ = 3.14作为 π 的一个近似值，则

| π - x₁ |=3.14159··· - 3.14 = 0.00159···≤½ *10^-2

此时，10的次方是 - 2 次，就代表是X₁小数点后的第二位，也就是 4 的位，3.14 从左边第一个不为 0 的数字开始数，就是 3,1,4。数到 4 时一共数了三次，就说明有三个有效数字，那么就代表x₁有 3 个有效数字，因此x₁ = 3.14是有效数。
x₁是有效数，有三个有效数字，3,1,4
假如令 x₂ = 3.1415，那么

| π - x₂| = 3.14159···-3.1415 = 0.00009···
又因为
0.00009 < 0.0005 ≤ ½ * 10^-3
此时，10 的次方是 - 3 次，就表示从左边开始第一个不为 0 的地方开始数，也就是从3开始数，一直数到小数点后的第三位，也就是从左往右数的第二个 1 的位置结束，一共数了四次，有3,1,4,1，因此，表示x₂只有四个有效数字，分别是3,1,4,1，因为x₂多了一位无效数字5，所以x₂不是有效数。

x₂不是有效数，只有四个有效数字，因为多了一个无效数字5

结论：
1，如果 x 有 n 位有效数字，那么它的相对误差满足：
在这里插入图片描述
2，如果 x 的相对误差满足：