【Virtual Globe 渲染技术笔记】4 椭球面上的曲线
椭球面上的曲线
在虚拟地球中，经常需要在椭球面上连接两个端点。
如果直接用直线连接，路径会切入椭球内部（图 4.1(a)(a)(a)）。更好的做法是用一系列采样点构造一条“贴”着椭球曲面前进的路径（图 4.1 (b)(b)(b)、(c)(c)(c)）。
常见曲线类型
- 大地线（geodesic）：两点间最短路径。
- 等角航线（rhumb line）：方位角恒定；虽非最短，却因导航简便而广泛使用。
本节介绍一种简单方法：用平面与椭球面相交来生成曲线（图 4.2(a)）。
在球面上，过球心的平面与球面相交得大圆，其短弧即为最短路径。类似地，对接近球形的椭球（如地球扁球），只要端点相距不远，用此法得到的曲线已足够用于渲染。
算法步骤
给定端点 p,q\mathbf p,\mathbf qp,q、角度粒度 γ\gammaγ、椭球 (a,b,c)(a,b,c)(a,b,c)，计算一条以 γ\gammaγ 为角间距的采样路径。
如图 4.2(c–e)，γ\gammaγ 越小，采样越密，曲线越平滑。
注：除 γ→0\gamma\to 0γ→0 极限外，线段仍会轻微切入椭球；后续章节将给出一种深度测试策略，使线段仍能被正确绘制。
-
求平面法向量
p~=p−0,q~=q−0,m=p~×q~,n^=m∥m∥ \tilde{\mathbf p}= \mathbf p-0,\quad \tilde{\mathbf q}= \mathbf q-0,\quad \mathbf m=\tilde{\mathbf p}\times\tilde{\mathbf q},\quad \hat{\mathbf n}=\frac{\mathbf m}{\|\mathbf m\|} p~=p−0,q~=q−0,m=p~×q~,n^=∥m∥m -
计算端点夹角
p^=p~∥p~∥,q^=q~∥q~∥,θ=arccos(p^⋅q^) \hat{\mathbf p}= \frac{\tilde{\mathbf p}}{\|\tilde{\mathbf p}\|},\quad \hat{\mathbf q}= \frac{\tilde{\mathbf q}}{\|\tilde{\mathbf q}\|},\quad \theta=\arccos(\hat{\mathbf p}\cdot\hat{\mathbf q}) p^=∥p~∥p~,q^=∥q~∥q~,θ=arccos(p^⋅q^) -
采样点数
n=⌊θγ⌋−1,s=max(n,0) n=\left\lfloor\frac{\theta}{\gamma}\right\rfloor-1,\quad s=\max(n,0) n=⌊γθ⌋−1,s=max(n,0) -
生成采样点
对每个 i=0,1,…,si=0,1,\dots,si=0,1,…,s，取
ϕi=iγ \phi_i = i\gamma ϕi=iγ
将 p~\tilde{\mathbf p}p~ 绕 n^\hat{\mathbf n}n^ 旋转 ϕi\phi_iϕi 得 vi\mathbf v_ivi，再用地心缩放把 vi\mathbf v_ivi 缩放到椭球面上，即得第 iii 个采样点。
（使用地心缩放而非大地缩放，可确保点仍在原平面内，从而落在期望曲线上。）
思考题
如果不用角度粒度和绕法向量旋转，而是直接对端点做线性插值得到一组点，再对每点调用 scaleToGeocentricSurface，有何优缺点？
-
优点
- 实现更简单；
- 采样点在三维空间均匀分布。
-
缺点
- 插值点不一定共面，生成的曲线可能偏离期望平面；
- 在椭球高曲率区域，路径可能出现明显扭曲；
- 均匀线性插值在椭球表面上的角距不均匀，导致视觉密度不一致。