分发饼干——很好的解释模板

好的，孩子，我们来玩一个“喂饼干”的游戏。

0. 问题的本质是什么？

想象一下，你就是个超棒的家长，手里有几块大小不一的饼干，而面前有几个饿着肚子的小朋友。每个小朋友都有一个最小的“胃口”值，比如有的孩子胃口小，只要一块尺寸为 1 的饼干就满足了；有的孩子胃口大，得要一块尺寸至少为 3 的饼干才行。

你的任务很简单：用你手里的饼干，尽可能地让更多的孩子吃饱。但是有个规矩：每个孩子只能分到一块饼干。

• 孩子们：他们的“胃口”是一个数字列表 g。
• 饼干们：它们的“尺寸”也是一个数字列表 s。
• 满足条件：一块饼干的尺寸 s[j]，必须大于或等于一个孩子的胃口 g[i]，这个孩子才会被满足。

你的最终目标是找出你最多能满足多少个孩子。

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1. 为什么“贪心”在这里能成功？

这次，我们不用像之前“背包问题”那么复杂的动态规划了。因为这个“喂饼干”的问题有一个很好的性质，我们可以用一个更简单的策略来解决，这个策略叫做贪心算法。

贪心算法的思路是：

每一步都做出当前看来最好的选择，希望这些局部的最佳选择能够导致最终的全局最佳结果。

那么，这里的“最佳选择”是什么呢？

有两种直觉：

1. 从大到小喂：用最大的饼干去喂胃口最大的孩子。
2. 从小到大喂：用最小的饼干去喂胃口最小的孩子。

我们来分析一下，为什么“从小到大喂”是一个更好的策略。

假设你有一块尺寸为 5 的大饼干和一块尺寸为 1 的小饼干。你面前有两个孩子，一个胃口为 4，一个胃口为 1。

• 如果你用大饼干（5）去喂大胃口的孩子（4）：

  • 这个孩子满足了，你还剩下小饼干（1）和另一个小胃口的孩子（1）。
  • 你用剩下的饼干去喂剩下的孩子，这个孩子也满足了。
  • 结果：两个孩子都满足了。

• 如果你用小饼干（1）去喂小胃口的孩子（1）：

  • 这个孩子满足了，你还剩下大饼干（5）和另一个大胃口的孩子（4）。
  • 你用剩下的饼干去喂剩下的孩子，这个孩子也满足了。
  • 结果：两个孩子都满足了。

从这个例子看，两种方法都行。但是，再看一个情况：

假设你有一块尺寸为 5 的大饼干和一块尺寸为 2 的小饼干。你面前有两个孩子，一个胃口为 4，一个胃口为 2。

• 如果你用大饼干（5）去喂大胃口的孩子（4）：

  • 这个孩子满足了，你剩下小饼干（2）和另一个小胃口的孩子（2）。
  • 你用剩下的饼干去喂剩下的孩子，这个孩子也满足了。
  • 结果：两个孩子都满足了。

• 如果你用小饼干（2）去喂小胃口的孩子（2）：

  • 这个孩子满足了，你剩下大饼干（5）和另一个大胃口的孩子（4）。
  • 你用剩下的饼干去喂剩下的孩子，这个孩子也满足了。
  • 结果：两个孩子都满足了。

看起来好像都一样。那我们换个角度想：

• 如果我有一块尺寸为 2 的小饼干，它能喂饱胃口为 2 的孩子，但喂不饱胃口为 4 的孩子。
• 如果我有一块尺寸为 5 的大饼干，它既能喂饱胃口为 2 的孩子，也能喂饱胃口为 4 的孩子。

你觉得，那块尺寸为 5 的大饼干是不是很宝贵？它能喂饱那些挑剔的大胃口孩子，而小饼干不行。如果我一开始就把大饼干浪费在小胃口孩子身上，那么后面大胃口的孩子就可能饿着了。

所以，最好的策略是：

用最小的饼干，去满足胃口最小的孩子。

这样，我们就能把大饼干省下来，留给那些胃口更大的孩子。这个策略就是“贪心”的精髓。

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2. 算法步骤和推演过程

根据上面的“贪心”策略，我们来一步步解决这个问题。

**第一步：**把孩子们按胃口从小到大排队，把饼干们按尺寸从小到大排队。

• g = [1, 2, 3] -> 排序后 g = [1, 2, 3]
• s = [1, 1] -> 排序后 s = [1, 1]

**第二步：**从小到大，一个一个地尝试用饼干去满足孩子。

我们用两个指针，一个指向最小胃口的孩子（child_index），一个指向最小尺寸的饼干（cookie_index）。

• child_index = 0 (指向胃口为 1 的孩子)
• cookie_index = 0 (指向尺寸为 1 的饼干)
• 满足的孩子数量 satisfied_count = 0

开始匹配：

1. 孩子 g[0] 的胃口是 1，饼干 s[0] 的尺寸是 1。

   • s[0] (1) >= g[0] (1)？是的，满足！
   • 我们将这块饼干给这个孩子。
   • satisfied_count 增加到 1。
   • 孩子和饼干的指针都往前走一步：
     • child_index = 1 (指向胃口为 2 的孩子)
     • cookie_index = 1 (指向尺寸为 1 的饼干)

2. 孩子 g[1] 的胃口是 2，饼干 s[1] 的尺寸是 1。

   • s[1] (1) >= g[1] (2)？不是，不满足。
   • 这块饼干太小了，喂不饱这个孩子。
   • 怎么办？我们不能把这块小饼干留给这个孩子，因为他吃不饱。但是这块饼干也喂不饱后面的任何一个孩子（因为后面的孩子胃口只会更大）。所以，这块饼干只能扔掉。
   • 我们只让饼干的指针往前走一步：
     • child_index 保持不变 (指向胃口为 2 的孩子)
     • cookie_index = 2 (没有更多饼干了)

3. 饼干用完了！

   • cookie_index 已经超出饼干列表的范围了。游戏结束。

最终结果：

我们成功满足了 1 个孩子。

再来一个例子：

• g = [1, 2], s = [1, 2, 3]
• 排序后：g = [1, 2], s = [1, 2, 3]
• child_index = 0, cookie_index = 0, satisfied_count = 0

开始匹配：

1. 孩子 g[0] (1)，饼干 s[0] (1)。

   • s[0] (1) >= g[0] (1)？是的，满足！
   • satisfied_count = 1。
   • child_index = 1, cookie_index = 1。

2. 孩子 g[1] (2)，饼干 s[1] (2)。

   • s[1] (2) >= g[1] (2)？是的，满足！
   • satisfied_count = 2。
   • child_index = 2, cookie_index = 2。

3. 孩子用完了！

   • child_index 已经超出孩子列表的范围了。游戏结束。

最终结果：

我们成功满足了 2 个孩子。

这个策略之所以有效，是因为它总是用“勉强够用”的最小饼干去满足胃口最小的孩子，从而把更有潜力的饼干留给后续的孩子。