统计学（第8版）——统计学基础统计抽样与抽样分布（考试用）

一、抽样基本概念（符号要点）

（一）核心参数与统计量符号对比

类型	概念	符号	说明
参数	总体均值	$\mu$	唯一确定的总体特征值，通常未知
参数	总体方差	${\sigma }^2$	反映总体数据离散程度
参数	总体标准差	$\sigma$	$\sigma =\sqrt{{\sigma }^2}$
统计量	样本均值	$\bar{x}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_i$	样本数据的算术平均，随机变量
统计量	样本方差	$s^2=\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2$	无偏估计总体方差，随机变量
统计量	样本标准差	$s=\sqrt{s^2}$	与样本方差对应，量纲一致

二、重要概率分布（符号完整定义）

（一）正态分布（$N(\mu ,{\sigma }^2)$）

1. 概率密度函数

$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}(-\infty <x<+\infty )$

• 符号说明：

  • $\mu$：均值，决定分布中心位置

  • $\sigma$：标准差（$\sigma >0$），决定分布离散程度

2. 标准化转换公式

若$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，令标准化变量：

$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$

例题：设$X\sim N(1,4)$，求$P(0<X\le 10)$

解：

1. 标准化：$Z_1=\frac{0-1}{2}=-0.5$，$Z_2=\frac{10-1}{2}=4.5$

2. 查标准正态表：$\Phi (4.5)\approx 1$，$\Phi (-0.5)=1-\Phi (0.5)=1-0.6915=0.3085$

3. 概率：$P(0<X\le 10)=\Phi (4.5)-\Phi (-0.5)\approx 1-0.3085=0.6915$

（二）卡方分布（${\chi }^2$分布）

1. 定义式

若$X_1,X_2,\dots ,X_n\sim N(0,1)$且独立，则：

${\chi }^2={\sum }_{i=1}^n{X}_i^2\sim {\chi }^2(n)$

• 符号说明：

  • ${\chi }^2$：卡方统计量，希腊字母$\chi$（读作 “卡”）

  • $n$：自由度，决定分布形态（右偏）

2. 单正态总体应用

若$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，样本容量为$n$，样本方差为$s^2$，则：

$\frac{(n-1)s^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$

（三）F 分布（$F(n_1,n_2)$）

1. 定义式

若$V\sim {\chi }^2(n_1)$，$W\sim {\chi }^2(n_2)$且独立，则：

$F=\frac{V/n_1}{W/n_2}\sim F(n_1,n_2)$

• 符号说明：

  • $n_1$：第一自由度（分子自由度）

  • $n_2$：第二自由度（分母自由度）

2. 双正态总体应用

设两组独立样本：

• $X_1,\dots ,X_{n_1}\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$，样本方差$s_1^2$

• $Y_1,\dots ,Y_{n_2}\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$，样本方差$s_2^2$

  若${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$，则：

$\frac{s_1^2}{s_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$

（四）t 分布（$t(n)$）

1. 定义式

若$U\sim N(0,1)$，$W\sim {\chi }^2(n)$且独立，则：

$t=\frac{U}{\sqrt{W/n}}\sim t(n)$

• 符号说明：

  • $t$：t 统计量，又称 “学生 t 统计量”

  • $n$：自由度，当$n\to \infty$时，$t(n)\to N(0,1)$

2. 单正态总体应用

若$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，样本容量为$n$，则：

$t=\frac{\bar{x}-\mu }{s/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$

例题：面包日销量$\mu =70$，样本$n=15$，$s^2=16$，求$\bar{x}=74$的概率

解：

1. 计算$t$值：$t=\frac{74-70}{4/\sqrt{15}}=\frac{4}{4/3.872}\approx 3.873$

2. 查$t$分布表（自由度$14$）：$P(t\ge 3.873)$介于$0.0005\sim 0.001$之间

三、样本均值的抽样分布（符号公式）

（一）无限总体

若总体$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，样本均值$\bar{x}$满足：

• 期望：$E(\bar{x})=\mu$

• 方差：$D(\bar{x})=\frac{{\sigma }^2}{n}$，标准差${\sigma }_{\bar{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$（均值标准差）

（二）有限总体（无放回抽样）

当$n/N>0.1$（$N$为总体容量），需引入有限总体修正系数：

$D(\bar{x})=\frac{{\sigma }^2}{n}\cdot \frac{N-n}{N-1}$

• 符号说明：$\frac{N-n}{N-1}$用于修正无放回抽样的样本独立性损失

四、大数定律与中心极限定理（符号表述）

（一）辛钦大数定律

若$X_1,X_2,\dots ,X_n$独立同分布，$E(X_i)=\mu$，则：

$\bar{x}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i\stackrel{P}{\to }\mu (n\to \infty )$

• 符号说明：$\stackrel{P}{\to }$表示依概率收敛

（二）林德伯格 - 莱维中心极限定理

若$X_1,X_2,\dots ,X_n$独立同分布，$E(X_i)=\mu$，$D(X_i)={\sigma }^2$，则当$n$足够大时：

$\bar{x}\sim N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)\text{或}\frac{\bar{x}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$

• 应用条件：$n\ge 30$（大样本）

五、核心符号速查表

符号	含义	所属领域
$\mu$	总体均值	参数
$\sigma$	总体标准差	参数
$\bar{x}$	样本均值	统计量
$s$	样本标准差	统计量
${\chi }^2$	卡方统计量	抽样分布
$F$	F 统计量	抽样分布
$t$	t 统计量	抽样分布
$\sum$	求和符号（如${\sum }_{i=1}^n{x}_i$表示样本观测值之和）	基础运算
$\Phi (x)$	标准正态分布的累积分布函数（$P(Z\le x)$）	概率计算