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[C++刷怪笼]：搜索二叉树--便利的查找工具

news 2025/9/7 5:42:55

1.搜索二叉树的概念即性能分析

1.1二叉搜索树的概念

二叉搜索树又称为二叉排列树，它或者是一颗空树，或者是具有一下性质的二叉树：

若它的左⼦树不为空，则左⼦树上所有结点的值都⼩于等于根结点的值
若它的右⼦树不为空，则右⼦树上所有结点的值都⼤于等于根结点的值
它的左右⼦树也分别为⼆叉搜索树
⼆叉搜索树中可以⽀持插⼊相等的值，也可以不⽀持插⼊相等的值，具体看使⽤场景定义，后续我们学习map/set/multimap/multiset系列容器底层就是⼆叉搜索树，其中map/set不⽀持插⼊相等值，multimap/multiset⽀持插⼊相等值
比较绝对的情况：

1.2二叉搜索树的性能分析

最优情况下，⼆叉搜索树为完全⼆叉树(或者接近完全⼆叉树)，其⾼度为： log2 N（常规情况）

最差情况下，⼆叉搜索树退化为单⽀树(或者类似单⽀)，其⾼度为： N（特殊情况）

所以综合⽽⾔⼆叉搜索树增删查改时间复杂度为： O(N)

那么这样的效率显然是⽆法满⾜我们需求的，我们后续课程需要继续讲解⼆叉搜索树的变形，平衡⼆叉搜索树AVL树和红⿊树，才能适⽤于我们在内存中存储和搜索数据。

另外需要说明的是，⼆分查找也可以实现 O(log2 N) 级别的查找效率，但是⼆分查找有两⼤缺陷：

1.需要存储在⽀持下标随机访问的结构中，并且有序。

2.插⼊和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插⼊和删除数据⼀般需要挪动数

据。这⾥也就体现出了平衡⼆叉搜索树的价值。

2.搜索二叉树的基本操作

2.1二叉搜索树的插入（insert）

插⼊的具体过程如下：

1. 树为空，则直接新增结点，赋值给root指针

2. 树不空，按⼆叉搜索树性质，插⼊值⽐当前结点⼤往右⾛，插⼊值⽐当前结点⼩往左⾛，找到空位置，插⼊新结点。

3. 如果⽀持插⼊相等的值，插⼊值跟当前结点相等的值可以往右⾛，也可以往左⾛，找到空位置，插⼊新结点。（要注意的是要保持逻辑⼀致性，插⼊相等的值不要⼀会往右⾛，⼀会往左⾛）

代码具体如下：

    //插入节点bool insert(const K& val){//空树if(_root == nullptr){_root = new Node(val);return true;}//非空树Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while(cur){//值大--插入右子树if(cur -> _key < val){parent = cur;cur = cur -> _right;}//值小--插入左子树else if(cur -> _key > val){parent = cur;cur = cur -> _left;}//?elsereturn false;}//到达最终插入节点的位置cur = new Node(val);if(parent -> _key < val)parent -> _right = cur;        elseparent -> _left = cur;return true;}

2.2二叉搜索树的查找（find）

1. 从根开始⽐较，查找x，x⽐根的值⼤则往右边⾛查找，x⽐根值⼩则往左边⾛查找。

2. 最多查找⾼度次，⾛到到空，还没找到，这个值不存在。

3. 如果不⽀持插⼊相等的值，找到x即可返回

4. 如果⽀持插⼊相等的值，意味着有多个x存在，⼀般要求查找中序的第⼀个x。如下图，查找3，要找到1的右孩⼦的那个3返回

查找的具体代码如下：

    //查找节点bool find(const K& key){if(_root == nullptr)return false;Node* cur = _root;while(cur){if(cur -> _key < key)cur = cur -> _right;else if(cur -> _key > key)cur = cur -> _left;else return true;}return false;}

查找相较于插入比较简单。

2.3二叉搜索树的删除（重难点）

二叉搜索树的删除由于涉及到节点指针的指向改变，就出现了不同情况的具体分析如下：

⾸先查找元素是否在⼆叉搜索树中，如果不存在，则返回false。

如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）

1. 要删除结点N左右孩⼦均为空

2. 要删除的结点N左孩⼦位空，右孩⼦结点不为空

3. 要删除的结点N右孩⼦位空，左孩⼦结点不为空

4. 要删除的结点N左右孩⼦结点均不为空

对应以上四种情况的解决⽅案：

1. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样的）

2. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的右孩⼦，直接删除N结点

3. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的左孩⼦，直接删除N结点

4. ⽆法直接删除N结点，因为N的两个孩⼦⽆处安放，只能⽤替换法删除。找N左⼦树的值最⼤结点 R(最右结点)或者N右⼦树的值最⼩结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意⼀个，放到N的位置，都满⾜⼆叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转⽽变成删除R结点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除

具体实现代码如下：（代码一遍看懂是有难度的，大家多跟着分析几遍，道理就学会了）

    //***删除节点***bool erase(const K& key){   Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while(cur){if(cur -> _key < key) {parent = cur;cur = cur -> _right;}else if(cur -> _key > key){parent = cur;cur = cur -> _left;}//找到对应key值//需分情况讨论else{//0-1个孩子的情况//删除情况123都符合，改变父亲指向孩子的节点指针即可//1.把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，                        //效果是⼀样的）//2. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的右孩⼦，直接删除N结点//3. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的左孩⼦，直接删除N结点if(cur -> _left == nullptr){if(parent == nullptr){_root = cur -> _right;}else{if(parent->_left == cur)parent -> _left = cur -> _right;elseparent -> _right = cur -> _right;}delete cur;return true;}else if(cur -> _right == nullptr){if(parent == nullptr)_root = cur -> _left;else {if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_left;elseparent->_right = cur->_left;}delete cur;return true;}//两个孩子的情况else{// 2个孩⼦的情况// 删除情况4，替换法删除// 假设这⾥我们取右⼦树的最⼩结点作为替代结点去删除// 这⾥尤其要注意右⼦树的根就是最⼩情况的情况的处理，对应课件图中删除8的//情况// ⼀定要把cur给rightMinP，否会报错。Node* rightMinP = cur;Node* rightMin = cur->_right;while (rightMin->_left){rightMinP = rightMin;rightMin = rightMin->_left;}cur->_key = rightMin->_key;if (rightMinP->_left == rightMin)rightMinP->_left = rightMin->_right;elserightMinP->_right = rightMin->_right;delete rightMin;return true;}}}return false;}

2.4二叉搜索树具体代码的实现

下面是二叉搜索树模拟实现的代码，大家可以借鉴一下。

#include<iostream>using namespace std;template<class K>
struct BSTNode
{
private:BSTNode<K>* _left;BSTNode<K>* _right;T _key;public://构造函数BSTNode(const K& key): _key(key), _left(nullptr), _right(nullptr){}
};template<typename K>
//Binary search tree
class BSTree
{typedef BSTNode<k> Node;
public://插入节点bool insert(const K& val){//空树if(_root == nullptr){_root = new Node(val);return true;}//非空树Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while(cur){//值大--插入右子树if(cur -> _key < val){parent = cur;cur = cur -> _right;}//值小--插入左子树else if(cur -> _key > val){parent = cur;cur = cur -> _left;}//?elsereturn false;}//到达最终插入节点的位置cur = new Node(val);if(parent -> _key < val)parent -> _right = cur;        elseparent -> _left = cur;return true;}//查找节点bool find(const K& key){if(_root == nullptr)return false;Node* cur = _root;while(cur){if(cur -> _key < key)cur = cur -> _right;else if(cur -> _key > key)cur = cur -> _left;else return true;}return false;}//***删除节点***bool erase(const K& key){   Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while(cur){if(cur -> _key < key) {parent = cur;cur = cur -> _right;}else if(cur -> _key > key){parent = cur;cur = cur -> _left;}//找到对应key值//需分情况讨论else{//0-1个孩子的情况//删除情况123都符合，改变父亲指向孩子的节点指针即可//1.把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样的）//2. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的右孩⼦，直接删除N结点//3. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的左孩⼦，直接删除N结点if(cur -> _left == nullptr){if(parent == nullptr){_root = cur -> _right;}else{if(parent->_left == cur)parent -> _left = cur -> _right;elseparent -> _right = cur -> _right;}delete cur;return true;}else if(cur -> _right == nullptr){if(parent == nullptr)_root = cur -> _left;else {if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_left;elseparent->_right = cur->_left;}delete cur;return true;}//两个孩子的情况else{// 2个孩⼦的情况// 删除情况4，替换法删除// 假设这⾥我们取右⼦树的最⼩结点作为替代结点去删除// 这⾥尤其要注意右⼦树的根就是最⼩情况的情况的处理，对应课件图中删除8的情        况// ⼀定要把cur给rightMinP，否会报错。Node* rightMinP = cur;Node* rightMin = cur->_right;while (rightMin->_left){rightMinP = rightMin;rightMin = rightMin->_left;}cur->_key = rightMin->_key;if (rightMinP->_left == rightMin)rightMinP->_left = rightMin->_right;elserightMinP->_right = rightMin->_right;delete rightMin;return true;}}}return false;}void inorder(){_inorder(_root);cout << endl;}private:Node* _root = nullptr;
private:void _inorder(Node* root){if(_root == nullptr) return;_inorder(root -> _left);cout << root -> key << " ";_inorder(root -> _right);}
};

3.二叉搜索树的使用实例--key/value使用场景

3.1key的搜索场景

只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断key在不在。key的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持增删查，但是不⽀持修改，修改key破坏搜索树结构了。

场景1：⼩区⽆⼈值守⻋库，⼩区⻋库买了⻋位的业主⻋才能进⼩区，那么物业会把买了⻋位的业主的⻋牌号录⼊后台系统，⻋辆进⼊时扫描⻋牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提⽰⾮本⼩区⻋辆，⽆法进⼊。

场景2：检查⼀篇英⽂章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放⼊⼆叉搜索树，读取⽂章中的单

词，查找是否在⼆叉搜索树中，不在则波浪线标红提示。

3.2key/value的搜索场景

每⼀个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字⾛⼆叉搜索树的规则进⾏⽐较，可以快速查找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持修改，但是不⽀持修改key，修改key破坏搜索树性质了，可以修改value。

场景1：简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英⽂)和vlaue(中⽂)，搜索时输⼊英⽂，则同时查找到了英⽂对应的中⽂。

场景2：商场⽆⼈值守⻋库，⼊⼝进场时扫描⻋牌，记录⻋牌和⼊场时间，出⼝离场时，扫描车牌，查找⼊场时间，⽤当前时间-⼊场时间计算出停⻋时⻓，计算出停⻋费⽤，缴费后抬杆，⻋辆离场。

场景3：统计⼀篇⽂章中单词出现的次数，读取⼀个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第⼀次出现，（单词，1），单词存在，则++单词对应的次数。

3.3key/value二叉搜索树的代码实现

key/value二叉搜索树在普通二叉搜索树的基础上新增了一个value变量，其基本原理是大相径庭的。插入，查找和删除的手段也一样。

下面的代码实现：

#include<iostream>using namespace std;//二叉搜索树实例 -- kv
template<class K, class V>
struct BSTNode
{
private:K _key;V _value;BSTNode<K, V>* _left;BSTNode<K, V>* _right;public:BSTNode(const K& key, const V& value): _key(key), _value(value), _left(nullptr), _right(nullptr)
};template<class K, class V>
class BSTree
{typedef BSTNode<K, V> Node;
public://由于可能创建空树--则需要显式的写默认构造BSTree() = default;BSTree(const BSTree<K, V>* kv){_root.copy(kv._root)}BSTree<K, V>& operator=(const BSTree<K, V>* kv){swap(_root, kv._root);return *this}~BSTree(){Destory(_root);_root = nullptr}bool insert(const K& k, const V& v){if(_root == nullptr){_root._key = k;_root._value = v;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while(cur){if(cur -> _key < k){parent = cur;cur = cur -> _right;}else if(cur -> _key > k){parent = cur;cur = cur -> _left;}elsereturn false;}//找到位置cur = new Node(k, v);if(parent -> _key < k) parent -> _right = cur;else parent -> _left = cur;return true;}Node* find(const K& key){Node* cur = _root;while(cur){if(cur -> _key < key) cur = cur -> _right;else if(cur -> _key > key) cur = cur -> _left;else return cur;}return nullptr;}bool erase(const K& key){Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while(cur){if(cur -> _key < key) cur = cur -> _right;else if(cur -> _key > key) cur = cur -> _left;else{if(cur -> _left == nullptr){if(parent == nullptr) _root = cur -> _right;else{if(parent -> _left == cur) parent -> _left = cur -> _right;else parent -> _right = cur -> _right;}delete cur;cur = nullptr;}else if(cur -> _right == nullptr){if(parent == nullptr) _root -> _left = cur -> _left;else{if(parent -> _left == cur) parent -> left = cur -> _right;else parent -> _right = cur -> _right;}delete cur;cur = nullptr;}//左右子树都有节点的情况(没有搞清楚)else{Node* rightMinP = cur;Node* rightMin = cur->_right;while (rightMin->_left){rightMinP = rightMin;rightMin = rightMin->_left;}cur->_key = rightMin->_key;if (rightMinP->_left == rightMin)rightMinP->_left = rightMin->_right;elserightMinP->_right = rightMin->_right;delete rightMin;return true;}}}return false;}void inorder(){_inorder(_root);cout << endl;}
private:void _inorder(Node* root){if(root == nullptr) return;_inorder(root -> _left);cout << " " ;_inorder(root -> _right);}void destory(Node* root){if(root == nullptr) return;destory(root -> _left);destory(root -> _right);delete root;}Node* copy(Node* root){if(root == nullptr) return nullptr;Node* newRoot = new Node(root -> key, root -> value);newRoot -> _left = copy(root -> _left);newRoot -> _right = copy(root -> _right);return newRoot;}private:Node* _root = nullptr;
};int main()
{BSTree<string, string> dict;//BSTree<string, string> copy = dict;dict.Insert("left", "左边");dict.Insert("right", "右边");dict.Insert("insert", "插⼊");dict.Insert("string", "字符串");string str;while (cin>>str){auto ret = dict.Find(str);if (ret){cout << "->" << ret->_value << endl;}else{cout << "⽆此单词，请重新输⼊" << endl;}}return 0;
}int main()
{string arr[] = { "苹果", "西⽠", "苹果", "西⽠", "苹果", "苹果", "西⽠", "苹果", "⾹蕉", "苹果", "⾹蕉" };BSTree<string, int> countTree;for (const auto& str : arr){
// 先查找⽔果在不在搜索树中
// 1、不在，说明⽔果第⼀次出现，则插⼊<⽔果, 1>
// 2、在，则查找到的结点中⽔果对应的次数++
//BSTreeNode<string, int>* ret = countTree.Find(str);auto ret = countTree.Find(str);if (ret == NULL){countTree.Insert(str, 1);}else{ret->_value++;}}countTree.InOrder();return 0;
}