运筹说 第136期 | 其他类型对策简介之合作对策
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上一期我们了解了一些其他类型对策，包括二人无限零和对策、多人非合作对策两种经典对策。
接下来小编将为大家介绍其他类型对策的最后一种经典策略——合作对策。
03
合作对策
通过一个例题来详细说明合作对策概念和意义。
例题展示
例16：（产品定价问题）设有两家厂商（厂商1、厂商2）为同一市场生产同样的产品，可以选择的竞争策略是价格，目的是赚得最多的利润。已知两个厂商的需求函数为：
Q1=12-2P1+P2
Q2=12-2P2+P1
其中，P1、P2分别是两个产商的价格，Q1、Q2分别为市场对两个厂商产品的需求量（实际的销售量）,两家厂商的固定成本均为20元。于是，厂商1的利润函数为：
为求厂商1利润最大化时的价格，令
得到
上式称为厂商1对厂商2的价格的反应函数，同理可得到厂商2对厂商1的价格的反应函数为
由图1可以看出，如果两个厂商互不合作，各自从自身利润最大化出发，最稳妥的策略显然是都选择“定价4元”，也就是实现Nash均衡，各自可以得到12元的利润。但我们发现，如果两个厂商合作起来，都选择“定价6元”的利润，显然比不合作时要好。因此，两个厂商可以结成一个“价格联盟”，统一把价格定在6元，形成一个合作均衡，导致一个双赢的结果。
但如果厂商1遵守价格联盟达成的合作协议，把价格定在6元，而厂商2却违反合作协议，将价格定在4元（厂商1合作，而厂商2不合作），则厂商1的利润只有4元，而厂商2的利润却可以达到20元，如图2所示。
图 1
图 2
这就给两个厂商带来了一个定价难题：到底采取哪个价格？一方面，“合作”的前景很诱人；另一方面，各厂商都担心，如果竞争对手不合作怎么办？而现实当中，一些厂商的确存在为了自身利益而违背市场竞争规则、与竞争对手进行削价竞争的冲动。不难看出，定价问题实际上正是“囚犯困境”在微观经济学中的一个实例。目前，“囚犯困境”的模型已被应用于经济学、社会学、理学、伦理学、政治学等众多领域，充分说明由此模型而引出的合作对策模型具有十分广泛的适应性和应用背景。
由于非合作对策模型在适用性和理论上存在的局限性，使人们开始研究合作对策问题。合作对策的基本特征是参加对策的局中人可以进行充分的合作，即可以事先商定好，把各自的策略协调起来；可以在对策后对所得到的支付进行重新分配。合作的形式是所有局中人可以形成若干联盟，每个局中人仅参加一个联盟，联盟的所得要在联盟的所有成员中进行重新分配。一般来说，合作可以提高联盟的所得，因而也可以提高每个联盟成员的所得。但联盟能否形成以及形成哪种联盟，或者说一个局中人是否参加联盟以及参加哪个联盟，不仅取决于对策的规则，更取决于联盟获得的所得如何在成员间进行合理的重新分配。如果分配方案不合理,就可能破坏联盟的形成,以至于不能形成有效的联盟。因此，在合作对策中，每个局中人如何选择自己的策略已经不是主要要研究的问题了，应当强调的是如何形成联盟，以及联盟的所得如何被合理分配（即如何维持联盟）的问题。
合作对策研究问题重点的转变，使得合作对策的模型、解的概念都和非合作对策问题有很大的不同。具体来说,构成合作对策的两个基本要素是：局中人集合I和特征函数v(S)，其中I={1,2,…,n}，S为I任一子集，也就是任何一个可能形成的联盟，(S)表示的是联盟S在对策中的所得。通常用G={I,v}来表示一个n人合作对策。合作对策的可行解是一个满足下列条件的n维向量x=(x1,x2,…,xn)：
1.团队合理性
这个条件表示每个局中人在合作对策中所得的xi至少应该等于他单独行动时所得的v({i})。这里的v({i})表示对策“局中人i单独行动”时的特征函数值，即他单独行动时的收益。这个条件确保了每个局中人加入合作联盟后，其收益不会比单独行动时更差。
2.个体合理性
这个条件表示每个局中人作为合作联盟的一部分，其所得的总和收益应该等于整个联盟的总收益。这里的v(I)表示所有局中人合作时的特征函数值，即他们合作时的总收益。这个条件确保了合作的总收益被完全分配给各个局中人，没有剩余也没有短缺。
将满足上面两个式子的向量x称为一个分配，表示合作对策中各个局中人之间的收益分配方案。
02 合作对策的特征函数
在一个n人的对策中，令N={1,2,…,n}为对策者的集合。对集合N的每个子集S，当它们相互作用并形成联合时，作为一个对策的特征函数v给出了S中每个成员的肯定的收益值的总和v(S)。
例题展示
例17：某制药公司A（局中人1）打算生产一种新药，但无法单独生产，它可以将配方卖给公司2（局中人2）或公司3（局中人3）。获得配方的公司可以将生产所得的100万元利润与制药公司A分享。如果我们将特征函数定义为三家公司所有可能的合作方式下生产该种新药所获得的利润的话，则可以得到该合作对策问题的特征函数为：
v({})=v({1})=v({2})=v({3})=v({2,3})=0(元)
v({1,2})=v({1,3})=v({1,2,3})=1000000(元)
例18：（土地开发问题）局中人1拥有一块价值10000元的土地，如果转给局中人2开发，可以使土地增值到20000元，如果转给局中人3开发可以增值到30000元，没有其他可转让方。如果将每种可能的合作开发模式下可以获得的土地增值定义为特征函数值的话，则该合作对策问题的特征函数为：
v({})=v({1})=10000(元)，v({2})=v({3})=0(元)
v({1,2})=20000(元)，v({1,3})=30000(元)，v({1,2,3})=30000(元)
例19：（垃圾倾倒问题）假设4个人每人拥有一处房产，且每人都有一袋垃圾想倒在其他人的房产处。如果有b袋垃圾倒在了4个中某一联盟中所有成员拥有的房产处，则该联盟的所得为-b。显然，b的值取决于联盟成员的数目：联盟成员的垃圾倒在非联盟成员的房产处，不承担自己倾倒垃圾损失，非联盟成员将垃圾倾倒到联盟成员房产处，联盟承担b袋垃圾倾倒损失；当4个人全部加入联盟时，此时没有非联盟成员，联盟一起承担4袋垃圾倾倒损失。如果将每个联盟的所得记为特征函数值的话，则这个合作对策的特征函数为:
v({S})=-(4-|S|) 如果|S|<4
v({1,2,3,4})=-4 如果|S|=4
其中|S|为S中成员个数，S为4人中可能形成的任一联盟。
下面将结合上述例子，介绍合作对策“解”的概念和求解方法，说明合作对策分析问题的基本思想。
03 合作对策的核心
核心(core)是合作对策解的一种重要形式。如前所述，由于合作对策研究的主要问题是联盟形成的条件，而这些条件不可避免地和分配规则的制定有关系。因此，我们希望能在所有可能的分配构成的集合X中，找出一些分配，使得这些分配能够被各种可能形成的联盟S中的所有成员都接受。因而我们寻求的将不是某个单一的分配，而是希望找到满足一定合理性（或公平性）条件的分配的集合。为此，我们先给出分配之间优超关系的定义。
定义 6 设x=(x1,x2,…,xn)，y=(y1,y2,…,yn)为n人合作对策G的两个分配，S为由局中人构成的子集，如果
则称y关于S优超于x，记成
由定义6可知，如果y关于S优超于x，则S中的每个成员都应更偏好于y，且整个联盟S可以获得更多的回报。
以下，设x=(x1,x2,…,xn)为一个分配，记
定义 7 设G={I,v}，称
C={x|x∈X，v(S)≤x(S),S为I中所有可能的子集}
为合作对策G的核心(core)。
定义7说明，对于任一联盟S，核心中的分配x提供给S的分配不会少于S中成员各自单干时可能获得收入的总和v(S)，即没有一个联盟S可以提出对自身更为有利的分配，因而x是能被所有可能的联盟都接受的分配方案。
由合作对策核心的定义，不难得到如下定理：
定理13 设C为合作对策G的核心，则分配x=(x1,x2,…,xn)属于核心的充要条件是：x不被任何其他分配所优超。
由定理13和核心的定义，应该说核心是我们所希望的一个比较好的关于合作对策解的定义。但遗憾的是，许多合作对策的核心往往是空集。
例题展示
例20：（药品开发问题续）下面我们来求该对策的核心。设x=(x1,x2,…,xn)为一分配，则x应满足
x1≥0
x2≥0
x3≥0
x1+x2+x3=1000
根据核心的定义，x若在核心内的充要条件是：x还须满足
x1+x2≥1000000(元)
x1+x3≥1000000(元)
x2+x3≥0
x1+x2+x3≥1000000
不难发现，只有x1=1000000，x2=0，x3=0，满足上述所有不等式，也就是说该对策的核心只有包含一个分配(1000000,0,0)。可见，核心强调了局中人1的重要性。
注：对上述对策问题，如果我们选择一个不在核心内的分配，则可以说明该分配一定会被其他分配所优超。例如，如果选择分配x=(900000,50000,50000)，则分配y=(925000,75000,0)就会优超于x。
例21：（土地开发问题续）求该合作对策的核心。首先，任何一个分配均须满足
x1≥10000(元)
x2≥0
x3≥0
x1+x2+x3≥30000(元)
其次，分配x要属于核心还需满足
x1+x2≥20000(元)
x1+x3≥30000(元)
x2+x3≥0
x1+x2+x3≥30000(元)
不难推出，x要属于核心，必须满足
x2=0 和 x1+x3=30000(元)
由此推出
x1≥20000(元)
因此，所有满足上述两个条件的分配都将属于核心。例如，如果局中人1得到的份额为 x1 ，且2000≤x1≤30000，则任何向量(x1,0,30000-x1)都是该合作对策问题的核心。对这一结果的解释是：局中人3以高于局中人2的出价从局中人1那里购买到土地开发权，例如出价在2000≤ x1≤30000之间，这样局中人1可以获得x1，局中人3可以获得30000-x1，而局中人2什么也得不到。在该对策中，核心中的分配有无限多个。
例22：（垃圾倾倒问题续）确定该问题的核心。首先，若x=(x1,x2,x3,x4)为一个分配，则必须满足
x1≥-3
x2≥-3
x3≥-3
x4≥-3
x1+x2+x3+x4=-4
根据定理13，没有任何一个由3个局中人形成的联盟，一个分配要属于核心必须满足
x1+x2+x3≥-1
x1+x2+x4≥-1
x1+x3+x4≥-1
x2+x3+x4≥-1
但我们发现，没有任何一个分配会满足上面的不等式组，因此该合作对策的核心为空集。
04 合作对策的Shapley值
在求解药品生产问题（例17）的核心时我们注意到，核心中的分配过于向局中人1，也即对策中最重要局中人倾斜，将所有的回报都给了局中人1，这看上去对其他局中人有些“不公平”。我们下面来介绍另一个合作对策解的概念——Shapley值，这是一个较之“核心”更加公平的合作对策解的定义。
Shapley值是根据Lloyd Shapley提出的合作对策应该满足的4个公理来定义的。
公理1 （对称性）如果改变局中人的标号亦同时改变局中人的所得。例如，假设一个3人合作对策的Shapley值为x=(10,15,20)。如果改变局中人1和3的作用（例如从v({1})=10和v({13})=15变成v({1})=15和v({3})=10)，则新对策的Shapley值将变为x=(20,15,15)。
公理2 （有效性）满足团体合理性，即
公理3 （边际合理性）如果对任一联盟S，都有v(S-{i})=v(S)，则根据Shapley值得出的xi=0，也就是说如果局中人i不可能给任何联盟带来价值的增加，则该局中人的所得也应该为零。
公理4 （可加性）设x和y分别为合作对策v和u的Shapley值,则合作对策v+u的Shapley值为x+y。
如果上述4条公理能得到满足，Shapley证明了以下著名的定理：
定理14 设v为合作对策G的特征函数，则存在唯一的分配x=(x1,x2,…,xn)满足公理1至公理4。局中人i的所得为
其中
上式的解释是假定n个局中人按随机到达的顺序参与合作，即有n!种可能的顺序，每一顺序发生的概率为1/n!。假定当局中人i到达时发现集合S中的成员均已到达了，如果局中人i想同这些已到达的成员形成一个联盟，则由于他的加入可以带来的收入的增加值为v(S∪{i})-v(S)，而当局中人i到达时S中的成员均已到达的概率为pn(S)。所以，上式的意思是说，局中人i的所得应该等于他可能给所有已经存在的联盟带来的价值增加值的均值。
下面我们计算一下前面有关例子的Shapley值。
例题展示
例23：（药品生产问题续）计算该合作对策的Shapley值。为计算局中人1的回报，我们先列出所有不包括局中人1的联盟S（见表1），并对每个这样的联盟，计算v(S∪{i})-v(S)和pn(S)。因为由于局中人1的加入各联盟可以获得的收入的平均值为
x1=(2/6)(0)+(1/6)(1000000)+(1/6)(1000000)+(2/6)(1000000)=4000000/6(元)
所以根据Shapley值计算的局中人1应得到的回报为4000000/6。对局中人2来说，由表2可知，根据Shapley值计算的回报应为
x2=(2/6)(0)+(1/6)(1000000)+(1/6)(0)+(2/6)(0)=1000000/6(元)
局中人3应得的回报为1000000-x1-x2=1000000/6(元)
表 1
表 2
注1：我们还记得例17的核心是局中人1获得1000000元，而局中人2和3没有回报。因此，根据Shapley值计算得到的回报看上去对局中人2和3更公平些。一般来说，根据Shapley值计算的每个局中人的回报会比根据核心的定义确定的每个局中人的回报会更公平一些。
注2：对一个只有少数局中人参与的合作对策，根据Shapley值的计算思想确定各局中人应得到的回报还是比较容易的。例如对于例17，可以通过表3来计算每个局中人的Shapley值：
x1=4000000/6(元)
x2=1000000/6(元)
x3=1000000/6(元)
注3：Shapley值可用于对政治或商业组织中各成员权利的衡量。例如联合国安全理事会有5个常任理事国成员（具有否决任何议案的权利），10个非常任理事国成员。一个议案要获得安理会通过必须获得至少9票的同意，包括所有常任理事国的同意。如果将所有可能的投票结果看成不同的“联盟”的话，当议案得到通过时将该结果（“联盟”）的赢得值记为1；当议案没有获得通过时记为0，据此可以得到这个合作对策的特征函数。
根据这个特征函数可以计算得出每个常任理事国的Shapley值是0.1963，非常任理事国的Shapley值是0.001865，且有5(0.1963)+10(0.001865)=1。于是，根据Shapley值的计算结果表明，联合国安理会的98.15%(5(0.1963)=98.15%)的权利集中在了5个常任理事国手上。
表 3
最后，作为Shapley值的一个应用，下面分析一个机场如何确定飞机着陆收费标准的问题。
例题展示
例24：假设一个机场可以接受A、B、C三种型号飞机降落，所需跑道的长度分别为100米、150米和400米；假设跑道每年的维护费用恰好等于跑道的长度（单位：元）。因为要保证机型C能降落，所以机场必须拥有400米的跑道。为简单起见，假设机场每年只能接受每种机型中的一架降落，问400元的跑道维护费用应如何向所降落的飞机收取？
解：分别记机型A、B、C为局中人1、2、3，可以构造一个3人合作对策，其中每个联盟的收入为需要支付的可以使联盟中需要最长跑道飞机降落的跑道维护费。于是，该对策的特征函数可以表示为
v({})=1,v({1})=-100(元)，v({1,2})=v({2})=-150(元)
v({3})=v({2,3})=v({1,3})=v({1,2,3})=-400(元)
为了计算Shapley值（向每个局中人收取的费用），我们假定三种飞机以随机的顺序着陆，并计算出每种机型在对已经到达的机型收过费的基础上需要增加收费的平均值（见表4），于是得到每个局中人的Shapley值为
局中人1的费用=(1/6)(100+100)=200/6(元)
局中人2的费用=(1/6)(50+150+150)=350/6(元)
局中人3的费用=(1/6)(250+300+250+250+400+400)=1850/6(元)
表 4
因此，根据Shapley值计算的结果，向机型A收取的着陆费为33.33元，向机型B收取的着陆费为58.33元，而占用跑道最长的机型C需要付费308.33元。
如果每种机型着陆的飞机不止一架，可以证明根据Shapley值计算的着陆费应按如下方式收取：所有飞机的着陆费都应根据其使用的跑道的长度同等收费，即所有飞机都必须为使用跑道的第一个100米付费；机型B需要为使用100米后的50米跑道付费；机型C需要为使用150米后的250米跑道付费。例如，假设有10架A型飞机、5架B型飞机、2架C型飞机需要降落,则每架飞机应收取的着陆费为
机型A的费用=
100/(10+5+2)=5.88(元)
机型B的费用=
5.88+(150-100)/(5+2)=13.03(元)
机型C的费用=
13.03+(400-150)/2=138.03(元)
以上就是合作对策的全部内容了，通过本期学习，大家是否学会了合作对策的经典求解方法呢？下一期小编将通过经典例题带大家深刻理解对策论，敬请关注！
作者 | 唐京茹 李超凡
责编 | 邱宇
审核 | 徐小峰
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