矩阵乘法的优化与复杂度分析

标准矩阵乘法：两个 N×N 矩阵相乘的朴素算法需要 时间（每个元素计算涉及 N 次乘加）

1. 传统矩阵乘法的计算步骤

假设两个 N×N 的矩阵 A 和 B 相乘得到矩阵 C，则 C 中每个元素的计算公式为：

for i in 1..N:          # 遍历 C 的行for j in 1..N:      # 遍历 C 的列for k in 1..N:  # 计算点积C[i][j] += A[i][k] * B[k][j]

Strassen 算法（1969）：通过分块和递归，将时间复杂度降至 ≈O(N2.8074)，核心是将 2×2 矩阵乘法从 8 次标量乘法优化为 7 次。

2. 后续优化方法

后续算法通过高阶分块和张量技术进一步降低指数：

1. Coppersmith-Winograd 算法（1987）：

   • 引入张量分解（Tensor Rank 理论），证明矩阵乘法的时间复杂度可降至 O(N2.375477)。

   • 核心思想是将大矩阵拆分为更小的块，利用代数恒等式减少乘法次数。

2. Le Gall 的改进（2014）：

   • 通过优化张量分解的递归结构，将指数降至O(N2.3728639)。

   • 使用更精细的平衡策略，减少递归步骤中的乘法开销。

量子线性判别：

如何将positive semidefinite指数化？

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