PCA笔记

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✅ 问题本质：为什么让矩阵 TT 的行列式为 1？

这个问题通常出现在我们对数据做**线性变换（旋转/缩放）**的时候，比如在 PCA 中把数据从原始坐标系变换到主成分方向时。

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📌 回顾一下背景

在 PCA 中，我们把数据从原始空间变换为新的坐标系（主成分空间）：

Y=TTXY = T^T X

其中：

• XX 是数据（每行一个样本）

• TT 是变换矩阵，它由一组正交单位向量（主成分方向）组成

• TTT^T 是它的转置

• YY 是新坐标下的数据

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🔍 那为什么希望 det⁡(T)=1\det(T) = 1 呢？

这不是“必须”的要求，但我们通常希望它满足这个条件，原因如下：

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✅ 1. 维持体积不变（保持几何意义）

• 如果你对空间进行线性变换，行列式告诉你体积改变了多少倍。

• det⁡(T)=1\det(T) = 1 意味着体积保持不变。

举个例子：

• 如果你对二维平面的一组点进行线性变换

• ∣det⁡(T)∣=2|\det(T)| = 2：面积变成 2 倍了

• ∣det⁡(T)∣=1|\det(T)| = 1：面积保持不变 ✅

所以我们倾向于找不改变体积/能量的变换矩阵。

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✅ 2. 在正交矩阵中，det⁡(T)=±1\det(T) = \pm 1

• PCA 中的变换矩阵 TT 是由正交向量组成的，所以 TT 是一个正交矩阵

• 正交矩阵的行列式一定是 ±1\pm 1

• 为了不引入“镜像”翻转（比如坐标轴翻了个面），我们通常取 正的那个解

所以：

我们会约定选择行列式为 +1+1 的正交矩阵，避免反转坐标方向。

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✅ 3. 保持方差解释的纯粹性

PCA 的目标是：

• 把数据投影到新坐标轴

• 保证数据投影后的方差最大

如果 TT 的行列式不是 1（比如是 2），那变换后的数据整体就会被“拉伸”，导致：

• 所有方向的方差都膨胀了，不利于比较

所以我们更倾向于：

• 使用单位长度的正交向量

• 保证变换保持原始方差比例

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✅ 总结一句话

我们令 det(T) = 1，是为了让变换矩阵 TT 在几何上保持体积不变、在统计上保持数据方差解释的一致性，并避免出现镜像翻转的变换。

这既是数学上的约定，也是应用中的合理选择。

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