量子电路设计：以 Qiskit 为例

Bloch Sphere

单个量子位，有两种表示：

1. $q=\alpha |0⟩+\beta |1⟩$，其中组合系数 $\alpha ,\beta$ 都是复数（复平面，长度 + 相位），满足 $\alpha {\alpha }^{\ast }+\beta {\beta }^{\ast }=1$；
2. $q=e^{i\gamma }(\cos \frac{\theta }{2}|0⟩+e^{i\varphi }\sin \frac{\theta }{2}|1⟩)$，其中 $\gamma \in [-\pi ,\pi )$ 是整体相位，$\theta \in [0,\pi ]$ 是它与 $|0⟩$ 的夹角，$\varphi \in [0,2\pi )$ 是叠加 $|0⟩$ 与 $|1⟩$ 时两者的相位差。

对于第二种表示，定义 Bloch 球：

• 忽略 $e^{i\gamma }$ 整体相因子，以 $|0⟩$ 为 $z$ 轴正方向，以 $|1⟩$ 为 $z$ 轴负方向，再加入与之垂直的 $x\text{ - }y$ 平面，
• 使用 $\theta$ 确定从 $z$ 向 $x$ 的旋转角，而 $\varphi$ 确定从 $x$ 向 $y$ 的旋转角，
• 那么量子态 $q$ 的三维直角坐标为 $(x=\sin \theta \cos \varphi ,y=\sin \theta \sin \varphi ,z=\cos \theta )$

大体上，有如下观察，

1. 如果 $\alpha$ 和 $\beta$ 的相位相同，那么 $q$ 落在圆弧 $z^{+}\to x^{+}\to z^{-}$ 上面
2. 角度 $\theta$ 显示了 $\alpha$ 和 $\beta$ 的相对范数大小，确切地说 $|\alpha |=\cos (\theta /2)$ 且 $|\beta |=\sin (\theta /2)$
3. 如果 $|\alpha |=|\beta |$，那么 $q$ 落在 $x\text{ - }y$ 平面上；如果 $|\alpha |>|\beta |$，那么在 $z^{+}$ 半球，否则在 $z^{-}$ 半球
4. 复数 $\beta$ 的相位角 $-$ 复数 $\alpha$ 的相位角 $=$ $\varphi \in [0,2\pi )$，以方向 $x^{+}\to y^{+}$ 旋转；

例如，

以及

X,Y,Z Gate

Pauli 矩阵 $X,Y,Z\in {\mathbb{C}}^{2\times 2}$ 将量子态 $q\in {\mathbb{C}}^2$ 分别在 $x,y,z$ 轴上旋转 $\pi$ 角度。

X Gate 的输出如下：它将 $\alpha$ 和 $\beta$ 互换，在基态上表现为 “比特翻转”

Y Gate 的输出如下：它可表示为 $X,Z$ 的组合，有 $Y=-iXZ=iZX$（比特翻转 + 相位翻转 + 整体相位旋转 $90^{\circ }$ 角）

Z Gate 的输出如下：它将 $\beta$ 变为 $-\beta$，在 Bloch 球上表现为 “相位翻转”

Hadamard Gate

Hadamard 门：量子态绕着 $x+z$ 轴（即 $x^{+}$ 和 $z^{+}$ 夹角的平分线）旋转 $\pi$ 角，
$$H=\frac{1}{\sqrt{2}}(X+Z)$$

其映射具体为，

• $|0⟩⟺|+⟩,|1⟩⟺|-⟩$
• $(x,y,z)\mapsto (z,-y,x)$

如下的两张图，展示了 H Gate 的几何意义，

H Gate 常被用于制备均匀的量子叠加态（并非纠缠）。确切地说：输入基态 $|0{⟩}^{\oplus n}$，每个 qubit 上分别做 Hadamard 变换，如下图所示，

每个基态的概率幅都相同，它们都指向 $x^{+}$ 方向，即为 $|+{⟩}^{\oplus n}$；也可以输入不同的基态，其输出的测量概率分布完全相同，但是相位结构不同。

此外，Hadamard 和 CNOT 组合在一起，可以制备 Bell 态。由于 Bell 态达到了最大程度的纠缠，在各个单量子比特空间上的投影以 $50\%$ 概率分别为 $|0⟩$ 和 $|1⟩$，因此我们换一个绘图方法：

量子电路设计

可以将任意的经典电路，转化为对应量子电路：直接将经典门，替换为对应的量子门。

需要注意的是，量子电路必须是可逆的（因为酉矩阵是可逆阵）。遇到任意布尔函数（尤其是 OWF），总是可以这么做：

$${\mathcal{O}}_f:|x⟩|0⟩\mapsto |x⟩|f(x)⟩$$

其中 $|0⟩$ 的长度等于 $|f(x)⟩$ 长度，像中的 $|x⟩$ 包含了恢复原像的充分不必要信息。就是说，相对于 $f$ 的经典电路，量子电路 ${\mathcal{O}}_f$ 的输出宽度通常会增长其输入的宽度。

NOT

直接使用 X/CNOT Gate 实现，深度为 $1$，

AND

需添加一个辅助比特，基于 Toffoli/CCX Gate 实现对应的可逆电路，深度为 $1$，

不过 CCX 通常需要使用 6 个 CNOT 和若干个单比特旋转。在有些硬件系统上，CCZ 可能比 CCX 有更快的实现，此时可以使用 CCZ + H 来实现 AND 门。

OR

通常直接使用 2X + 1CCX + 1X（德·摩根）来实现，深度为 $3$，

因此，在量子计算中， OR 的开销往往比 AND 还要高。

优化

对于更大的量子电路，由于每个 AND 和 OR 都包含许多的基本量子门（展开），有一些可以合并（连续旋转）、消去（相邻可逆），从而减少电路的：深度、宽度、CNOT 密度（该门的错误率高）。