等比数列的概念及性质02

例题【2018$\cdot$宁夏石嘴山高三联考】在各项均为正数的等比数列 { a n } \{a_n\} {an​}中，$a_2\cdot a_{10}=9$，则$a_5+a_7$ 【 】

$A.有最小值6$ $B.有最大值6$ $C.有最大值6$ $D.有最小值3$

分析：由$a_n>0$，$a_2\cdot a_{10}=9$，则可知$a_5\cdot a_7=9$，

则由均值不等式可知，$a_5+a_7\ge 2\sqrt{a_5{a}_7}=6$，

当且仅当$a_5=a_7=3$时取得等号，

故$a_5+a_7$有最小值$6$，故选$A$。

例题【等比+韦达定理】已知方程$(x^2-mx+2)(x^2-nx+2)=0$的四个根组成以$\frac{1}{2}$为首项的等比数列，则$\frac{m}{n}$等于【】

$A.\frac{3}{2}$ $B.\frac{3}{2}或\frac{2}{3}$ $C.\frac{2}{3}$ $D.以上都不对$

分析：设$a，b，c，d$是方程$(x^2-mx+2)(x^2-nx+2)=0$的四个根，

不妨设$a<c<d<b$，则由韦达定理有$ab=cd=2$，且$a=\frac{1}{2}$，则$b=4$，

根据等比数列的性质可知，$c=1$，$d=2$，

则$m=a+b=\frac{1}{2}+4=\frac{9}{2}$，$n=c+d=3$，

或者$n=a+b=\frac{1}{2}+4=\frac{9}{2}$，$m=c+d=3$，

故$\frac{m}{n}=\frac{3}{2}$或$\frac{m}{n}=\frac{2}{3}$，故选$B$。

例题【2018奉贤区一模】已知数列 { a n } \{a_n\} {an​}的首项$a_1=1$，$a_{n+1}=3S_n(n\in N^{\ast })$，则下列结论正确的是【】

$A.$数列 { a n } \{a_n\} {an​}是等比数列

$C.$数列 { a n } \{a_n\} {an​}是等差数列

分析：由$a_{n+1}=3S_n(n\ge 1)$，可得$a_n=3S_{n-1}(n\ge 2)$，两式做差，得到

$a_{n+1}-a_n=3a_n(n\ge 2)$，整理得到，

当$n\ge 2$时，满足$a_{n+1}=4a_n$，

由于$a_1=1$，$a_{n+1}=3S_n(n\ge 1)$，故得到$a_2=3$，

故数列 { a n } \{a_n\} {an​}的通项公式为$a_n=\{\begin{array}{l}1，n=1\\ 3\cdot 4^{n-2}，n\ge 2\end{array}$

即数列 { a n } \{a_n\} {an​}不是等比数列，但是数列$a_2$，$a_3$，$\cdots$，$a_n$是等比数列；故选$B$。

例题【等比中项，易错题】已知等比数列 { a n } \{a_n\} {an​}中， $a_3=4$， $a_9=1$， 求$a_6=$？

分析：$a_6^2=a_3\cdot a_9=4$，故$a_6=\pm 2$。原因是$a_6=a_3\cdot q^3$，$q^3$可取正负两种情形，故$a_6=\pm 2$。

• 对照：已知等比数列 { a n } \{a_n\} {an​}中， $a_3=4$， $a_{11}=1$， 则$a_7=$？

分析： a 7 2 = a 3 ⋅ a 11 = 4 a_7^2=a_3\cdot a_{11}=4