累乘法求数列的通项公式

前情概要

累乘法，顾名思义，就是多次相乘的意思。求通项公式题型中，如果给定条件最终可以转化为$\frac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)$的形式，或者可以转化为$\frac{a_n}{a_{n-1}}=f(n)$的形式，则我们就可以考虑使用累乘法求通项公式。

注意事项

①由已知的原始表达式衍生出$n-1$个同结构的表达式，其前提条件为$n\ge 2$，但是求积时只需要这$n-1$个表达式，不用原始表达式参与求和，等号左端约分消项的结果往往是$\frac{a_n}{a_1}$，右端约分可消项，故可以求积；同时注意对$n=1$的条件的验证。

②等号两端的约分的方向有可能不一样，比如左端是从左下到右上约分，右端可能就变化为从右上到左下约分，注意思维的灵活性。

③注意每一个衍生式子的下标与上标的联系，以防止写错。

适用类型

累乘法主要适用于以下情形：

①$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$($q$为常数)；

②$\frac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)$($f(n)$为变量)；

③能转化为$\frac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)$($f(n)$为变量)；

方法介绍

例1、已知正项数列 { a n } \{a_n\} {an​}的$a_1=1$，$(n+1)a_{n+1}-n{a}_n=0$，求数列的通项公式。

解法1️⃣：累乘法，变形为$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n}{n+1}$，由此式子可得到

$$\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{n-1}{n}，$$

$$\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}=\frac{n-2}{n-1}，$$

$$\frac{a_{n-2}}{a_{n-3}}=\frac{n-3}{n-2}，$$

$$\cdots ，\cdots ，$$

$$\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}{2}，$$

以上$n-1$个式子你可以从上述居中对齐的所有等式的左边的分母下标计数是 $n-1$ 个，也可以从上述所有等式的左边的分子下标计数也是 $n-1$ 个，还可以从上述所有等式的右边的分母计数是 $n-1$ 个，或从上述所有等式的右边的分子计数是 $n-1$ 个，相乘得到，当$n\ge 2$时，

$$\frac{a_n}{a_{n-1}}\cdot \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdot \frac{a_{n-2}}{a_{n-3}}\cdot \cdots \frac{a_2}{a_1}=\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-2}{n-1}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot \cdots \frac{1}{2}$$

对上式进行约分，如图所示，

整理即得到，$\frac{a_n}{a_1}=\frac{1}{n}$，故$a_n=\frac{1}{n}(n\ge 2)$，

当$n=1$时，$a_1=1$满足上式，故所求通项公式$a_n=\frac{1}{n}(n\in N^{\ast })$。

解后反思：

①用累乘法也可以求等比数列的通项公式，有点大材小用之嫌；

②累乘法尤其适用于比值不是相等即变化的情形，比如$\frac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)$的情形。

③求解形如$\frac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)$时，表达式$f(n)$必须有可乘性。

比如， a n + 1 a n = n n + 1 = f ( n ) \cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{n}{n+1}=f(n)