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CQF预备知识：一、微积分 -- 1.8 多变量函数：多元微积分详解

news 2025/6/8 8:17:05

文中内容仅限技术学习与代码实践参考，市场存在不确定性，技术分析需谨慎验证，不构成任何投资建议。

📖 数学入门全解

本系列教程为CQF(国际量化金融分析师证书)认证所需的数学预备知识，涵盖所有需要了解的数学基础知识，旨在帮助读者熟悉核心课程所需的数学水平。

教程涵盖以下四个主题：

1.8 多变量函数：多元微积分详解

偏导数定义

设 $z = f (x, y)$ 在点 $x_0,y_0)$ 的某邻域内有定义：

对x的偏导数：

$\left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{(x_0,y_0)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$

对y的偏导数：

$\left. \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{(x_0,y_0)} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}$
计算方法

计算偏导数时，将其他变量视为常数。例如：

对于 $f(x,y)=x^3y + e^{xy}$ ：

$\begin{align*} f_x &= 3x^2y + ye^{xy} \\ f_y &= x^3 + xe^{xy} \end{align*}$

二阶偏导数

通过连续求偏导得到：

纯二阶偏导：

$\begin{align*} f_{xx} &= \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) \\ f_{yy} &= \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial f}{\partial y} \right) \end{align*}$

混合二阶偏导：

$\begin{align*} f_{xy} &= \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) \\ f_{yx} &= \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial f}{\partial y} \right) \end{align*}$
混合偏导数定理

若 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 在点 $x_0,y_0)$ 处连续，则：

$f_{xy}(x_0,y_0) = f_{yx}(x_0,y_0)$

证明思路：通过微分中值定理可证

例题1

已知 $f(x,y)=x^2y^3+\sin(xy)$ ，求所有二阶偏导数

解：
首先计算一阶偏导：

$\begin{align*} f_x &= 2xy^3 + y\cos(xy) \\ f_y &= 3x^2y^2 + x\cos(xy) \end{align*}$

接着计算二阶偏导：

$\begin{align*} f_{xx} &= 2y^3 - y^2\sin(xy) \\ f_{yy} &= 6x^2y - x^2\sin(xy) \\ f_{xy} &= 6xy^2 + \cos(xy) - xy\sin(xy) \\ f_{yx} &= 6xy^2 + \cos(xy) - xy\sin(xy) \end{align*}$

可见 $f_{xy}=f_{yx}$
例题2

验证函数 $u=\ln(x^2+y^2)$ 满足拉普拉斯方程：

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$

解：
计算一阶偏导：

$\begin{align*} u_x &= \frac{2x}{x^2+y^2} \\ u_y &= \frac{2y}{x^2+y^2} \end{align*}$

二阶偏导：

$\begin{align*} u_{xx} &= \frac{2(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2} \\ u_{yy} &= \frac{2(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2} \end{align*}$

求和得：

$u_{xx} + u_{yy} = 0$