一阶低通滤波：从原理到实践，平滑数据的艺术

在信号处理、嵌入式系统甚至是数据处理中，我们常常会遇到一些包含“毛刺”或高频噪声的数据。直接使用这些数据可能会导致系统误动作、控制震荡或者绘图难看。这时，一阶低通滤波器（First-Order Low-Pass Filter, 1st-order LPF）就派上了用场。它犹如一个“数据平滑器”，允许低频信号通过，同时抑制高频干扰。今天，我们就来彻底搞懂它。

一、原理：它是如何“平滑”数据的？

想象一个场景：用一个笨重的水泥桶通过一个非常细的管子给另一个容器加水。即使你突然改变水泥桶的倾斜角度（输入信号突变），细管子也只能让水流缓慢地变化（输出信号缓慢跟随）。这个“细管子”就是低通滤波效应的来源。

1. 模拟世界的原理：
在模拟电路中，一个简单的RC电路（一个电阻 + 一个电容）就构成了一阶低通滤波器。

• 电阻 R：阻碍电流的变化，相当于“不情愿”因子。
• 电容 C：通过充放电来平滑电压的变化，相当于“惯性”因子。

这个电路有一个关键参数：截止频率 (Fc)。计算公式为：
Fc = 1 / (2π * R * C)
频率高于 Fc 的信号会被显著衰减，而低于 Fc 的信号则能较好地通过。

它的行为可以用一个一阶微分方程来描述，但我们更关心如何在数字世界中使用它。

二、公式：从连续到离散

我们要在单片机、Python、C++等程序中实现滤波，就必须将连续的模拟公式离散化。

1. 微分方程到差分方程

模拟一阶低通滤波器的行为可以用以下微分方程描述：
τ * (dy(t)/dt) + y(t) = x(t)
其中，τ = R*C 是时间常数（τ = 1 / (2π * Fc)），x(t) 是输入，y(t) 是输出。

我们对它进行离散化处理，用差分近似微分：
dy(t)/dt ≈ (y[n] - y[n-1]) / ΔT
其中 ΔT 是采样周期（两次采样之间的时间间隔）。代入上面的方程：
τ * (y[n] - y[n-1])/ΔT + y[n] = x[n]

整理后，我们得到离散形式的一阶低通滤波公式：

2. 核心滤波公式

y[n] = α * x[n] + (1 - α) * y[n-1]

这就是我们编程实现的核心公式！

其中：

• y[n]：本次滤波后的输出值
• y[n-1]：上一次滤波后的输出值
• x[n]：本次采样到的输入值
• α：滤波系数，它是一个介于 0 到 1 之间的常数，是决定滤波平滑程度的关键。

3. 滤波系数 α 与截止频率 Fc 的关系

α 并不是凭空设定的，它与模拟世界中的截止频率 Fc 和采样周期 ΔT 密切相关：
α = ΔT / (τ + ΔT) = ΔT / (1/(2π * Fc) + ΔT)

更常用的简化形式（当 ΔT 远小于 τ 时）：
α ≈ 2π * Fc * ΔT

如何理解 α？

• α → 1（例如 α=0.9）：(1-α) 很小，y[n] 几乎等于 x[n]。滤波器“信任”新数据，滞后小，但平滑效果差。
• α → 0（例如 α=0.1）：(1-α) 很大，y[n] 很大程度上是旧的 y[n-1] 的自我重复。滤波器“信任”历史数据，平滑效果好，但滞后非常严重。

编程时，通常直接根据想要的平滑效果来经验性地设置 α（如 0.1~0.3），或者通过已知的 Fc 和 ΔT 计算出来。

三、程序应用与实现

这个公式的优点是极其高效，只涉及一次乘法和一次加法运算，非常适合在资源受限的微控制器（如Arduino, STM32）上运行。

程序步骤：

1. 定义并初始化滤波系数 alpha 和上一次的输出值 lpf_prev_value。
2. 在定时采样中断或循环中，读取新的采样值 adc_value。
3. 应用公式：lpf_output = alpha * adc_value + (1 - alpha) * lpf_prev_value;
4. 更新 lpf_prev_value = lpf_output;，为下一次计算做准备。
5. 使用平滑后的 lpf_output 进行后续控制或显示。

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C 语言实现（适用于单片机/嵌入式）

// First order low pass filter implementation in C// 定义滤波器结构体，方便管理多个滤波器
typedef struct {float alpha;      // 滤波系数float prev_value; // 上一次的输出值
} FirstOrderLPF;// 初始化滤波器
// - alpha: 滤波系数
// - init_value: 滤波器的初始输出值（通常设为第一次的采样值）
FirstOrderLPF lpf_init(float alpha, float init_value) {FirstOrderLPF filter;filter.alpha = alpha;filter.prev_value = init_value;return filter;
}// 执行一步滤波计算
// - filter: 指向滤波器对象的指针
// - new_value: 新的采样值
float lpf_update(FirstOrderLPF* filter, float new_value) {// 应用公式: y[n] = α * x[n] + (1 - α) * y[n-1]float output = filter->alpha * new_value + (1.0f - filter->alpha) * filter->prev_value;// 更新上一次的输出值为本次结果filter->prev_value = output;return output;
}/****************** 使用示例 ******************/
#include <stdio.h>int main() {// 假设采样周期 ΔT = 0.01s (100Hz)， 期望截止频率 Fc = 1Hz// α ≈ 2π * Fc * ΔT = 2*3.14*1*0.01 ≈ 0.0628float alpha = 0.0628f;// 初始化滤波器，假设初始采样值为 0.0FirstOrderLPF my_filter = lpf_init(alpha, 0.0f);// 模拟一些含噪声的输入数据（例如：正弦波 + 随机噪声）float input_samples[] = {0.1, 0.5, 0.8, 1.2, 0.9, 0.7, 0.3, ...};int num_samples = sizeof(input_samples) / sizeof(input_samples[0]);printf("Raw Data, Filtered Data\n");for (int i = 0; i < num_samples; i++) {float raw_data = input_samples[i];float filtered_data = lpf_update(&my_filter, raw_data);printf("%.3f, %.3f\n", raw_data, filtered_data);}return 0;
}

Python 实现（适用于数据分析、仿真）

# First order low pass filter implementation in Python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltdef first_order_lpf(new_value, prev_value, alpha):"""一阶低通滤波函数:param new_value: 本次采样值:param prev_value: 上一次的滤波输出值:param alpha: 滤波系数:return: 本次滤波输出值"""return alpha * new_value + (1 - alpha) * prev_value# 生成示例数据：一个干净的正弦波 + 高频噪声
sample_count = 500
t = np.linspace(0, 5, sample_count)
clean_signal = np.sin(2 * np.pi * 1 * t)  # 1Hz 正弦波
noise = 0.5 * np.random.normal(size=sample_count) # 随机噪声
raw_signal = clean_signal + noise# 滤波参数设置
alpha = 0.1  # 滤波系数，越小越平滑，滞后也越大# 初始化
filtered_signal = np.zeros_like(raw_signal)
filtered_signal[0] = raw_signal[0]  # 用第一个采样值初始化# 执行滤波
for i in range(1, sample_count):filtered_signal[i] = first_order_lpf(raw_signal[i], filtered_signal[i-1], alpha)# 绘图对比
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(t, raw_signal, label='Raw Data (Noisy)', alpha=0.7)
plt.plot(t, clean_signal, label='Ground Truth (Clean Sin)')
plt.plot(t, filtered_signal, label=f'Filtered Data (α={alpha})', linewidth=2)
plt.legend()
plt.xlabel('Time [s]')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.title('First Order Low Pass Filter Demo')
plt.grid(True)
plt.show()

四、应用场景与注意事项

典型应用场景：

1. 传感器数据平滑：ADC读取的电压、陀螺仪/加速度计数据、温度传感器数据等。
2. 按键消抖：虽然硬件消抖更常见，但软件滤波可以进一步确保稳定性。
3. 控制系统：对反馈信号进行滤波，防止控制指令过于激进和高频震荡。
4. 信号处理：作为更复杂滤波器的基础单元。

注意事项：

1. 相位滞后：这是最大的缺点。滤波后的信号在时间上会滞后于原始信号，α 越小，滞后越严重。在闭环控制系统中，这可能影响稳定性，需要谨慎设计。
2. 初始值：初始值 y[0] 的设置会影响滤波器开始一段时间的输出。通常设置为第一次的采样值。
3. 选择 α：需要在平滑度和响应速度之间做权衡。通过实际效果测试来选择最适合的 α 值。