三阶Bezier曲线曲率极值及对应的u的计算方法
三阶（三次）Bezier曲线的曲率极值及其对应的参数 u 的计算是一个复杂的非线性优化问题。由于三阶Bezier曲线是参数化曲线，其曲率表达式较为复杂，通常无法通过解析方法直接求得所有极值点，但可以通过求解曲率导数为零的方程来获得极值点对应的参数u∈[0,1]。
1. 三阶 Bezier 曲线定义
设控制点为 P₀, P₁, P₂, P₃，则曲线表达式为：
B(u) = (1-u)^3*P_0 + 3*(1-u)^2*u*P_1 + 3*(1-u)*u^2*P_2 + u^3*P_3, u ∈ [0,1]
2. 一阶与二阶导数
- 一阶导数（速度向量）：
B′(u) = 3*(1-u)^2*(P_1 - P_0) + 6*(1-u)*u*(P_2 - P_1) + 3*u^2*(P_3 - P_2)
- 二阶导数（加速度向量）：
B″(u) = 6*(1-u)*(P_2 - 2*P_1 + P_0) + 6*u*(P_3 - 2*P_2 + P_1)
3. 平面曲线的曲率公式（假设在二维平面）
设曲线为平面曲线，记：
- B′(u) = (x′(u), y′(u))
- B″(u) = (x″(u), y″(u))
则曲率 κ(u) 为：
κ(u) = |x′(u)*y″(u) - y′(u)*x″(u)| / (x′(u)^2 + y′(u)^2)^(3/2)
4. 曲率极值条件
曲率极值出现在导数 dκ/du = 0 处。令分子为：
N(u) = x′(u)*y″(u) - y′(u)*x″(u)
分母为：
D(u) = (x′(u)^2 + y′(u)^2)^(3/2)
则 κ(u) = |N(u)| / D(u)。忽略绝对值（考虑符号变化），令导数为零：
dκ/du = 0 ⇒ [N′(u)*D(u) - N(u)*D′(u)] / D(u)^2 = 0 ⇒ N′(u)*D(u) - N(u)*D′(u) = 0
代入后可得一个关于 u 的 5 次多项式方程：
F(u) = 0, u ∈ [0,1]
其中 F(u) 是由 x′, y′, x″, y″ 及其导数构成的多项式，最高次数为 5。
5. 计算步骤（实用方法）
给定控制点 P₀, P₁, P₂, P₃，写出 B′(u) 和 B″(u) 的 x, y 分量。
计算：
- N(u) = x′(u)*y″(u) - y′(u)*x″(u)
- D(u) = (x′² + y′²)^(3/2)
计算N′(u) 和 D′(u)（对 u 求导）。
构造方程：N′(u)*(x′² + y′²)^(3/2) - N(u)*(3/2)*(x′² + y′²)^(1/2)*(2*x′*x′′ + 2*y′*y′′) = 0
两边同除 (x′² + y′²)^(1/2)（当速度非零时），得：N′(u)*(x′² + y′²) - 3*N(u)*(x′*x′′ + y′*y′′) = 0
展开后得到一个 5 次多项式：a_5*u^5 + a_4*u^4 + a_3*u^3 + a_2*u^2 + a_1*u + a_0 = 0
在区间 [0,1] 内求解该方程的所有实根 u_i。
将u_i 以及端点 u=0, u=1 代入 κ(u)，比较得到最大/最小曲率及其对应 u 值。
6. 注意事项
- 当 B′(u) = 0（速度为零）时，曲率无定义，需单独判断（如尖点）。
- 5 次方程无解析解，建议使用数值方法（如牛顿法、MATLAB 的
roots、Python 的numpy.roots）求解。 - 实际应用中可使用离散化采样 + 插值法近似极值。