调和级数 发散 P级数判别法

调和级数为什么发散？
它不是每一项都在变小吗？甚至趋近于 0，为什么总和却是无穷？

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我们先来看看调和级数的形式：

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots$$

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🔍 一、确实每一项都在变小，趋近于 0：

是的，$\frac{1}{n}\to 0$ 随着 $n\to \infty$，但是这只是收敛的必要条件，不是充分条件。

⚠️ 换句话说：

$$a_n\to 0\text{是收敛的必要条件，但并不能保证收敛！}$$

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📌 二、证明调和级数发散（最常见方法）

✅ 方法：比较法 + 分组法

我们来对它进行分组比较：

$$\begin{array}{rl}\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}& =1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)\\ & +\left(\frac{1}{9}+\cdots +\frac{1}{16}\right)+\cdots \end{array}$$

观察每组：

• 第1组：$1$
• 第2组：$\frac{1}{2}$
• 第3组：$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}>2\times \frac{1}{4}=\frac{1}{2}$
• 第4组：$\frac{1}{5}+\cdots +\frac{1}{8}>4\times \frac{1}{8}=\frac{1}{2}$
• 第5组：$\frac{1}{9}+\cdots +\frac{1}{16}>8\times \frac{1}{16}=\frac{1}{2}$

以此类推，每一组的和都 > $\frac{1}{2}$

而这样的组有无限多组，所以整体和 > 无数个 $\frac{1}{2}$ 累加：

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots =\infty$$

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✅ 结论

虽然调和级数的项趋近于 0，但趋近得不够快，所以总和会发散。

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🎁 附加理解：如果项下降得更快，会不会收敛？

是的！

比如：

• $\sum \frac{1}{n^2}$：收敛（这是著名的 Basel 问题，和是 $\frac{{\pi }^2}{6}$）
• $\sum \frac{1}{n^{1.1}}$：也收敛
• $\sum \frac{1}{n^{0.9}}$：发散

这和“p 级数判别法”有关：

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}\text{当且仅当}p>1\text{时收敛}$$

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