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【分析学】 实数

常见数集的定义

  1. 自然数的定义 (2000年将0纳入自然数的集合)
    N = { 0 , 1 , 2 , 3 , ⋯ , } \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\cdots,\} N={0,1,2,3,,}.

  2. 整数的定义
    Z = { 0 , 1 , − 1 , 2 , − 2 , 3 , − 3 , ⋯ } \mathbb{Z}=\{0,1,-1,2,-2,3,-3,\cdots\} Z={0,1,1,2,2,3,3,}

  3. 有理数的定义
    可以表示为小数部分是从某位往开始若干位循环的。即存在有限位小数 M M M 与正整数 T T T,
    q = M + 0.0 ⋯ 0 a 1 a 2 ⋯ a T a 1 a 2 ⋯ a T ⋯ a 1 a 2 ⋯ a T ⋯ . q=M+0.0\cdots 0 a_1a_2\cdots a_Ta_1a_2\cdots a_T\cdots a_1a_2\cdots a_T \cdots. q=M+0.00a1a2aTa1a2aTa1a2aT.
    其中 a i a_i ai 是集合 { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 中的一个元素。

  4. 有理数的等价定义
    Q = { m n ∣ m ∈ Z , n ∈ N + , gcd ⁡ ( m , n ) = 1 } \mathbb{Q}=\left\{\frac{m}{n} \left| \right. m\in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}_+, \gcd(m,n)=1\right\} Q={nmmZ,nN+,gcd(m,n)=1}
    其中 gcd ⁡ ( m , n ) \gcd(m,n) gcd(m,n) 表示 m , n m,n m,n 的最大公因数。

  5. 无理数的定义
    无限不循环小数
    例如 π , e , 2 , 5 3 \pi, e, \sqrt{2}, \sqrt[3]{5} π,e,2 ,35

实数
有理数
整数
正整数
0
负整数
自然数
分数
负分数
正分数
无理数
正无理数
负无理数

实数建立的两种方式

实数系基本公理

  • 域公理:实数集对加,减,乘,除,(除数非零)封闭满足交换律,结合律,分配率等运算性质.

    1. 加法交换律 a + b = b + a a+b=b+a a+b=b+a,
    2. 乘法交换律 a b = b a ab=ba ab=ba,
    3. 加法结合律 a + b + c = a + ( b + c ) a+b+c=a+(b+c) a+b+c=a+(b+c)
    4. 乘法结合律 a b c = a ( b c ) abc= a(bc) abc=a(bc)
    5. 分配率 ( a + b ) c = a b + a c (a+b)c=ab+ac (a+b)c=ab+ac
    6. 零元 0 + a = a = a + 0 0+a=a=a+0 0+a=a=a+0
    7. 幺元 1 a = a = a 1 1a=a=a1 1a=a=a1
    8. 负元 任意 a ∈ R a\in \mathbb{R} aR, ∃ b ∈ R \exists b\in \mathbb{R} bR, a + b = 0 = b + a a+b=0=b+a a+b=0=b+a,记 b = − a b=-a b=a
    9. 逆元 任意 a ∈ R ∖ { 0 } a\in \mathbb{R}\setminus\{0\} aR{0} ∃ c ∈ R ∖ { 0 } \exists c\in \mathbb{R}\setminus\{0\} cR{0}, a c = 1 = c a ac=1=ca ac=1=ca 记为 c = 1 a = a − 1 c=\frac{1}{a}=a^{-1} c=a1=a1.
  • 序公理 任意两个实数可以通过 < , = , > <, =,> <,=,> 中的一个比较大小。并且满足传递性

    1. 传递性 a < b 且 b < c → a < c a<b 且 b<c \rightarrow a<c a<bb<ca<c
    2. a < b ↔ b > a a<b \leftrightarrow b>a a<bb>a
    3. 传递性 a = b 且 b = c → a = c a=b 且 b=c \rightarrow a=c a=bb=ca=c
    4. 对称性 a = b ↔ b = a a=b \leftrightarrow b=a a=bb=a
    5. 反身性 a = a a=a a=a

实数系的完备性

完备性的公理

上确界刻画

任何非空有上界的实数子集 S ⊂ R S\subset \mathbb{R} SR 都有上确界。上确界的定义:
sup ⁡ S = { a ∣ ∀ b ∈ S ⇒ a ≤ b } ∩ { a ∣ ∀ δ > 0 , ∃ a ∈ S ⇒ a + δ > b } \sup S=\{a| \forall b\in S \Rightarrow a\leq b\} \cap \{a| \forall \delta>0,\exists a\in S \Rightarrow a+\delta> b \} supS={a∣∀bSab}{a∣∀δ>0,aSa+δ>b}. 有理数的子集合未必有有理数的上确界例如 Q ′ = { 1 , 1.4 , 1.41 , 1.414 , 1.41421 , ⋯ } Q'=\left\{ 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.41421 ,\cdots\right\} Q={11.41.411.414,1.41421,} 上确界为 2 \sqrt{2} 2 .

完备性的构造

给定有上界的实数子集 S ⊂ R S\subset \mathbb{R} SR, 则可以对所有实数进行比较,构造上确界。

上确界的构造

a = M + 0. a 1 a 2 a 3 ⋯ a n ⋯ a= M+0.a_1a_2a_3\cdots a_n\cdots a=M+0.a1a2a3an, 注 M M M 为不超过 a 的最大整数。(例如 3.14 3.14 3.14 3 3 3, − 3.14 -3.14 3.14 − 4 -4 4), 其中 M M M 是取 S S S 数集中的整数部分最大的,其次从 a 1 a_1 a1 开始一次比较整数部分同为 M M M 的所有实数中十分位最大整数,依次类推定义 a n a_n an 为前 10 − n + 1 10^{-n+1} 10n+1 位都相同,但是 10 − n 10^{-n} 10n 分为最大的整数。因此存在上确界。

复数*

C = { a + i b , a ∈ R , b ∈ R , i 2 = − 1 } \mathbb{C}=\{a+\mathbf{i} b, a\in \mathbb{R},b\in \mathbb{R}, i^2=-1\} C={a+ib,aR,bR,i2=1}.

http://www.xdnf.cn/news/1054243.html

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