【DSP笔记 · 第4章】算法的奇迹：快速傅里叶变换（FFT）如何改变世界

算法的奇迹：快速傅里叶变换（FFT）如何改变世界

在上一章，我们学习了离散傅里叶变换（DFT）。DFT是一座坚固的桥梁，它将信号处理的理论成功地带入了计算机可以操作的实践领域。有了DFT，我们终于可以用有限的、离散的数据来分析信号的频谱，实现快速卷积等强大的功能。

然而，这座桥梁虽然坚固，但走起来却有点“慢”。直接根据定义计算N点DFT，需要的复数乘法次数大约是 $N^2$ 次。当N比较小时，比如N=8，计算量是64次，计算机还能应付。但如果N=1024呢？计算量将飙升到 $1024\times 1024$，超过一百万次！如果是在实时高清视频处理中，N可能更大，这样的计算量是任何现代处理器都无法接受的。在很长一段时间里，DFT的巨大计算量限制了它在许多实时应用中的推广。

直到1965年，两位美国数学家库利（J. W. Cooley）和图基（J. W. Tukey）重新发现并推广了一种算法，彻底改变了这一切。这个算法，就是我们今天的主角——快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）。

FFT并不是一种新的变换，它不是DFT的替代品或近似品。FFT就是DFT，它是一种计算DFT的极其高效的算法。它的出现，将DFT的计算复杂度从 $O(N^2)$ 戏剧性地降低到了 $O(N\log N)$。这个看似微小的改变，却引发了数字信号处理领域的一场革命，让实时频谱分析、数字通信、雷达信号处理等无数应用从不可能变为了可能。FFT被公认为20世纪最重要的算法之一，它的思想和影响力，至今仍在不断延伸。

今天，我将带你揭开FFT神秘的面纱。我们将不再满足于仅仅“调用”一个FFT函数，而是要深入其内部，理解它那“化繁为简”的惊人智慧。

FFT的核心思想：分而治之的艺术

FFT算法的精髓，可以用四个字来概括：分而治之（Divide and Conquer）。这是一个在计算机科学中无处不在的强大思想：面对一个复杂的大问题，不要硬着头皮去解，而是想办法把它分解成若干个结构相同、规模更小的子问题。然后分别解决这些子问题，最后再将子问题的解合并起来，得到原问题的解。

FFT正是将这种思想运用到了极致。它发现，一个大规模的N点DFT问题，可以通过巧妙的数学变换，分解成两个规模为N/2点的DFT问题。

让我们来看这个分解是如何发生的。这里我们以最经典的按时间抽取（Decimation-In-Time, DIT） 的FFT算法为例。

时间抽取（DIT）：奇偶分组的魔术

我们回顾一下N点DFT的定义（为了简化，假设N是2的幂次方）：
$$X(k)=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{kn},k=0,1,\dots ,N-1$$
DIT-FFT的第一步，就是把时域输入序列 $x(n)$ 按照下标的奇偶性分成两组：

• 偶数下标序列：$x_e(m)=x(2m)$，其中 $m=0,1,\dots ,N/2-1$
• 奇数下标序列：$x_o(m)=x(2m+1)$，其中 $m=0,1,\dots ,N/2-1$

现在，我们将原来的求和式拆分成两部分，一部分对所有偶数项求和，另一部分对所有奇数项求和：
$$X(k)=\sum _{m=0}^{N/2-1}x(2m)W_N^{k(2m)}+\sum _{m=0}^{N/2-1}x(2m+1)W_N^{k(2m+1)}$$
对这个式子进行整理：
$$X(k)=\sum _{m=0}^{N/2-1}x(2m)(W_N^2{)}^{km}+W_N^k\sum _{m=0}^{N/2-1}x(2m+1)(W_N^2{)}^{km}$$
这里，我们观察到一个关键的性质：$W_N^2=(e^{-j2\pi /N}{)}^2=e^{-j2\pi /(N/2)}=W_{N/2}$。代入上式：
$$X(k)=\sum _{m=0}^{N/2-1}{x}_e(m)W_{N/2}^{km}+W_N^k\sum _{m=0}^{N/2-1}{x}_o(m)W_{N/2}^{km}$$
我们发现，第一个求和项正好是偶数序列 $x_e(m)$ 的 N/2点DFT，我们记为 $X_e(k)$。第二个求和项是奇数序列 $x_o(m)$ 的 N/2点DFT，我们记为 $X_o(k)$。
所以，上式可以写成：
$$X(k)=X_e(k)+W_N^k{X}_o(k)$$
一个N点DFT问题，就这样被我们成功地分解成了两个N/2点DFT问题！这就是FFT的第一层分解。

但是，这个分解还没结束。$X_e(k)$ 和 $X_o(k)$ 本身也是DFT，它们的周期是N/2。而我们要求的 $X(k)$ 的周期是N。当 $k$ 从 $N/2$ 增加到 $N-1$ 时会发生什么？
令 $k=k^{\prime }+N/2$，其中 $k^{\prime }=0,1,\dots ,N/2-1$。利用DFT的周期性和旋转因子的性质（$W_N^{k+N/2}=-W_N^k$），我们可以推导出：
$$X(k^{\prime }+N/2)=X_e(k^{\prime })-W_N^{k^{\prime }}{X}_o(k^{\prime })$$
综合起来，我们得到了FFT算法最核心的结构：

• 对于前半部分输出 ($k=0,\dots ,N/2-1$):
  $X(k)=X_e(k)+W_N^k{X}_o(k)$
• 对于后半部分输出 ($k=N/2,\dots ,N-1$):
  $X(k)=X_e(k-N/2)-W_N^{k-N/2}{X}_o(k-N/2)$

(上图就是著名的FFT“蝶形运算”单元。它展示了如何用两个N/2点DFT的输出 $X_e(k)$ 和 $X_o(k)$，通过一次复数乘法和两次复数加/减法，来计算出N点DFT的两个输出点 $X(k)$ 和 $X(k+N/2)$。它的形状像一只蝴蝶，因此得名。)

递归分解与运算流图

这个分解过程并不会止步于此。“分而治之”的思想会继续递归下去。

• 每个N/2点的DFT问题，又可以被分解成两个N/4点的DFT问题。
• N/4点的DFT问题，再分解成N/8点的…
• … 这个过程一直持续下去，直到最后分解成最简单的2点DFT问题。而2点DFT的计算非常简单，可以直接写出。

(上图展示了一个完整的8点DIT-FFT运算流图。你可以清晰地看到信号是如何从输入端流向输出端，并逐级进行蝶形运算的。)

观察这个流图，我们可以发现几个关键特征：

1. 分级结构:整个计算过程分为 ${\log }_{2}N$ 级（例如8点FFT有3级）。每一级都由N/2个蝶形运算单元构成。
2. 原位运算: 一个非常巧妙的设计是，每一级蝶形运算的输出，都可以直接覆盖掉其输入所占用的存储空间，而不会影响到同一级的其他运算。这使得整个FFT计算可以在原始的N个存储单元内“原地”完成，极大地节省了内存。
3. 输入倒序: 为了实现原位运算，DIT-FFT算法要求输入序列 $x(n)$ 必须按照一种特殊的顺序排列，叫做位反转序（Bit-Reversal Order）。例如，在8点FFT中，输入序列的下标顺序应该是0, 4, 2, 6, 1, 5, 3, 7。这个顺序是通过将正常顺序的下标（0-7）写成二进制，然后将二进制位前后颠倒得到的（例如，6的二进制是110，颠倒后是011，即3）。
4. 输出顺序: 经过位反转输入的DIT-FFT计算后，得到的输出 $X(k)$ 则是按正常顺序排列的。

频率抽取（DIF）- 另一种视角

除了按时间（输入）进行奇偶抽取的DIT-FFT，还有一种等效的算法是按频率（输出）进行前后抽取的DIF-FFT (Decimation-In-Frequency)。

DIF-FFT的推导过程与DIT类似，但它先进行蝶形运算，再将结果分成两组，分别进行N/2点DFT。它的运算流图看起来像是DIT流图的“转置”版本。

DIF-FFT的特点是：

• 输入顺序: 输入序列 $x(n)$ 按正常顺序排列。
• 输出倒序: 计算得到的输出 $X(k)$ 是按位反转序排列的。

在实际应用中，选择DIT还是DIF通常取决于具体的硬件架构或软件设计偏好，它们的计算量和效率是完全一样的。

FFT带来的革命性效率提升

现在，让我们回到最初的问题：FFT到底比直接计算DFT快多少？

• 直接计算DFT:

  • 复数乘法: $N^2$ 次
  • 复数加法: $N(N-1)$ 次
  • 复杂度: $O(N^2)$

• FFT算法:

  • 复数乘法: $(N/2){\log }_{2}N$ 次
  • 复数加法: $N{\log }_{2}N$ 次
  • 复杂度: $O(N\log N)$

让我们用一个具体的例子来感受这种差异。假设我们要计算一个4096点（$4096=2^{12}$）的DFT：

• 直接计算:
  • 乘法次数 = $4096^2\approx 16,777,216$ 次（约一千七百万次）
• FFT计算:
  • 乘法次数 = $(4096/2)\times {\log }_2(4096)=2048\times 12=24,576$ 次（约两万五千次）

计算量相差了将近 700倍！这就是算法的力量。正是这种指数级的效率提升，使得DFT从一个理论工具，真正变成了可以广泛应用于各种实时系统的实用技术。

FFT的应用：无处不在的“加速引擎”

由于FFT极大地降低了DFT的计算成本，它成为了许多高级信号处理技术的“加速引擎”。

快速卷积

正如我们在上一章讨论的，利用DFT可以高效地计算线性卷积。而将这个过程中的DFT和IDFT计算全部换成FFT和IFFT（快速逆傅里叶变换），我们就得到了快速卷积算法。

一个有趣的问题是，如何用FFT来计算IDFT？
其实非常简单，观察DFT和IDFT的公式：
$$X(k)=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)(W_N{)}^{kn}$$
$$x(n)=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}X(k)(W_N^{-1}{)}^{kn}$$
它们的形式高度相似，唯一的区别在于旋转因子是 $W_N$ 还是 $W_N^{-1}$（即共轭关系），以及最后是否除以N。利用这个关系，我们可以用同一个FFT程序来计算IDFT，只需要：

1. 先对频域序列 $X(k)$ 取共轭。
2. 对共轭后的序列做一次标准的FFT。
3. 将得到的结果再取一次共轭。
4. 最后将所有结果除以N。

这样，我们就能用同一个高效的FFT核心，完成正向和反向的变换。

实时频谱分析

有了FFT，实时显示音频的频谱图（就像音乐播放器里的那样）变得轻而易举。系统可以不断地采集一小段音频数据（例如1024个采样点），迅速对其进行FFT，然后将计算出的频谱幅度绘制出来。这个过程可以每秒进行几十次，从而形成流畅的动态频谱动画。

OFDM通信

在现代无线通信中，比如4G LTE、5G和Wi-Fi，都使用了一种叫做正交频分复用（OFDM） 的技术。OFDM的核心思想就是将高速的数据流，分成很多路低速的子数据流，然后用这些子数据流分别去调制大量的、相互正交的子载波（不同频率的正弦波）来进行传输。

在发射端，将数据调制到各个子载波上的过程，在数学上等价于一次IDFT。而在接收端，将各个子载波上的数据解调分离出来的过程，则等价于一次DFT。在实际的通信芯片中，这些复杂的调制解调过程，都是通过高效的IFFT和FFT硬件电路来实现的。没有FFT，现代高速无线通信将无从谈起。

总结：站在巨人的肩膀上

今天，我们深入探索了FFT这个伟大的算法。我们不仅理解了它的原理，更感受到了它所带来的革命性影响。

1. FFT不是新变换，而是快算法。它和DFT计算的是完全相同的东西，但效率天差地别。
2. 核心思想是“分而治之”。通过将大问题递归地分解为小问题，FFT将计算复杂度从 $O(N^2)$ 降低到了 $O(N\log N)$。
3. 蝶形运算是基本单元。FFT的运算流图由许多级蝶形运算构成，通过巧妙的结构实现了高效的原位运算。
4. DIT和DIF是两种经典实现。它们在输入输出的顺序上有所不同（正常序 vs. 位反转序），但核心思想和效率一致。
5. FFT是现代DSP的基石。从快速卷积到频谱分析，再到无线通信，FFT作为“加速引擎”，驱动着无数技术的进步。

理解FFT，不仅仅是学习一个算法，更是领略一种优雅而强大的工程思维方式。它告诉我们，面对看似无法解决的复杂问题时，换一个角度，运用“分而治之”的智慧，往往能找到通往奇迹的道路。

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习题

第1题 (概念题)

FFT算法相比于直接计算DFT，其计算结果是否存在误差？为什么？

第2题 (计算量对比)

某系统需要处理长度为2048点的信号。如果使用直接法计算DFT，大约需要 $2048^2\approx 4.2\times 10^6$ 次复数乘法。如果使用FFT算法，大约需要多少次复数乘法？计算量的提升大约是多少倍？

第3题 (位反转序)

在一个16点的DIT-FFT算法中，输入序列需要按位反转序排列。请问，原始序列中下标为13的元素 $x(13)$，应该被放在输入序列的哪个位置？

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答案

第1题答案:

在理想的、无限精度计算下，FFT算法与直接计算DFT的结果完全相同，不存在任何误差。

原因: FFT不是DFT的近似算法，它仅仅是利用了旋转因子 $W_N$ 的对称性和周期性，对DFT的求和公式进行了重新组合和分解，从而减少了冗余计算。整个推导过程是严格的数学等价变换，没有引入任何近似。在实际的有限精度计算机上，两者都存在舍入误差，但它们的误差来源和级别是相似的，并不能说FFT比直接计算的误差更大或更小。

第2题答案:

FFT算法的复数乘法次数公式为 $(N/2){\log }_{2}N$。
对于N=2048，我们有 $2048=2^{11}$，所以 ${\log }_2(2048)=11$。

• FFT复数乘法次数 = $(2048/2)\times 11=1024\times 11=11,264$ 次。

• 计算量提升倍数 = 直接计算次数 / FFT计算次数
  $\approx (4.2\times 10^6)/11264\approx 373$ 倍。
  FFT算法将计算量减少了约373倍！

第3题答案:

1. 将原始下标写成二进制:
   $N=16$，所以需要用4位二进制表示。
   下标13的二进制表示为 $1101_2$。

2. 将二进制位反转:
   将 $1101_2$ 的位进行前后颠倒，得到 $1011_2$。

3. 将反转后的二进制转换为十进制:
   $1011_2=1\cdot 2^3+0\cdot 2^2+1\cdot 2^1+1\cdot 2^0=8+0+2+1=11$。

所以，原始序列中下标为13的元素 $x(13)$，应该被放在位反转输入序列的第11个位置（即新序列的下标为11）。