考研数学微分学（第三，四，五，六，七讲）
一.第三讲 一元函数微分学的概念
1.导数
（1）两种定义公式
（2）等价的三种提法
- y=f(x)在x0处可导
- y=f(x)在x0处导数存在
- f‘(x0) = A
（3）函数在一点可导的充要条件
左导数和右导数存在且相等（极限存在的充要条件：左极限和右极限存在且相等）
（4）可导一定连续，连续不一定可导
注意：f(x)每求一次导数奇偶性就变化一次，求导之后周期性不变
题型：多项相乘，化成2项相乘
（5）f(x)与|f(x)|之间得关系
- f(x)在x0处连续，则|f(x)|在x0处连续，反之不成立
- f(x)在x0处可导
- f(x0)≠0 ，|f(x)|在x0处可导
- f(x0)=0
- f’(x0)=0，|f(x)|在x0处可导
- f’(x0)≠0，|f(x)|在x0处不可导
2.导数的几何意义
注意：切线存在，导数不一定存在；但导数存在切线一定存在
角点的定义：在一个点处存在两条单侧切线，两条单侧切线形成一个角，叫角点
3.高阶导数
（1）定义
（2）总结
4.微分的概念
（1）充要条件
可微推可导，可导推可微
（2）几何意义
若f(x)在点x0处可微，则在点x0处附近可以用切线近似代替曲线段
（3）可微的判别
二.第四讲 一元函数微分学的计算
1.基本求导公式
2.四则运算
3.复合函数求导与微分形式式不变
（1）复合函数求导（链式法则）
当函数 y=f(u) 中的 u 本身是另一个函数 u=g(x)，则 y 对 x 的导数需通过链式法则计算：
dy/dx=dy/du⋅du/dx
（2）微分形式不变性
无论 u 是自变量还是中间变量，函数 y=f(u) 的微分表达式始终保持一致：dy=f′(u)du
当 u=g(x) 时，du=g′(x)dx，代入上式得：dy=f′(g(x))⋅g′(x)dx⇒dxdy=f′(g(x))⋅g′(x)
4.分段函数求导
（1）分段点使用导数定义，求得左导数和右导数，判断是否相等，得出这点是否存在导数
（2）在非分段点使用导数公式求导
注：ln|x| 求导之后式 1/x （lnx 和 ln -x 求导之后是一样得）
5.反函数的导数
6.隐函数求导法则
直接对两边得x进行求导
注意：y是含有x的参数方程也要进行求导
7.参数方程求导
8.对数求导
9.幂指函数求导法
（1）采用上面的对数求导法
（2）可以先化成指数函数，在进行求导 ，一班以e为底
10.高阶导数
（1）归纳法：逐次求导，探出规律，得出通式
（2）莱布尼兹公式
（3）泰勒公式
三.第五讲 一元函数微分学的应用(1)
1.极值的定义
（1）对函数来说若存在点x0的某个邻域内，均有f(x)<=f(x0)(f(x)>=f(x0))成立，则称x0为极大值点或极小值点
（2）只是局部的概念
（3）左右邻域都有定义，端点不讨论极值，间断点讨论极值
注：常函数处处是极大值，处处是极小值
2.单调性与极值的判别条件
驻点（Stationary Point）是指函数 f(x) 的导数 f′(x) 为零的点
（1）单调性的判断
（2）极值点存在的必要条件
找极值点的两种情况：驻点，不可导点
（3）判别极值的充分条件
3.凹凸性和拐点的概念
（1）凹凸性（两种定义）
（2）拐点
4.凹凸性和拐点的判别
（1）定义判别凹凸性
（2）拐点的必要条件
（3）判别拐点的充分条件
5.极值点与拐点的重要结论
6.渐近线
（1）铅直渐近线
（2）水平渐近线
（3）斜渐近线
注：有水平渐近线就没有斜渐近线
（4）具体步骤
7.最值或取值范围
8.做函数图像
9.曲率和曲率半径
四.第六讲 一元函数微分学的应用(2)
1.涉及函数
（1）有界与最值定理
（2）介值定理
（3）平均值定理
（4）零点定理
2.涉及导数
（1）费马定理
（2）罗尔定理
（3）拉格朗日中值定理
（4）柯西中值定理
（5）泰勒公式
3.涉及积分
（1）积分中值定理
4.积分等式
（1）零点定理
（2）单调性
（3）罗尔原话
（4）实系数奇次方程至少有一个实根
注：偶次为啥不行呢？因为偶次可能两边都趋向+∞所以无法判断（比如2元一次方成，如果开口向上两边都趋向于+∞）
5.积分不等式
（1）用函数性态证明
（2）用常数变量化证明
（3）用中值定理证明
五.第七讲 一元函数微分学的应用(3)
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