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函数的逆与原象

ds 2025/8/30 7:01:04

函数的逆（反函数）( $f^{-1}$ ) 作为一个从值域到定义域的映射，确实不一定存在。

但这里正是理解现代数学中符号“( $f^{-1}$ )”多重含义的关键。在可测函数的定义中，符号 ( $f^{-1}(B)$ ) 并不是在指那个可能不存在的反函数，而是在使用“原像”的概念。

这是一个常见的混淆点，让我们来彻底澄清它。

	反函数 (Inverse Function)	原像 (Preimage)
符号	( $f^{-1}$ )	( $f^{-1}$ )
含义	一个函数，满足 ( $f^{-1}(f(x)) = x$ )。	一个集合映射，输入一个集合，返回一个集合。
存在条件	仅当 ( f ) 是双射（一一对应）时才存在。	永远存在！对于任何函数 ( f ) 和任何子集 ( B )，原像 ( $f^{-1}(B)$ ) 总有定义。
定义	如果 ( $\to Y$ ) 是双射，则其反函数 ( $f−1:Y→Xf^{-1}: Y \to X$ ) 定义为： ( $f^{-1}(y) = x$ ) 当且仅当 ( $f (x) = y$ )。	对于任意函数 ( $\to Y$ ) 和任意子集 ( $\subseteq Y$ )，其原像定义为： ( $f−1(B)={x∈X∣f(x)∈Bf^{-1}(B) = \{ x \in X \mid f(x) \in B$ } )。
例子	( $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f (x) = x + 1$ ) 是双射。其反函数为 ( $f^{-1}(y) = y - 1$ )。	( $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = x^2$ ) 令 ( $B = \{4, 9\}$ )，则原像 ( $f^{-1}(B) = \{-2, 2, -3, 3\}$ )。令 ( $B = \{-1\}$ )，则原像 ( f^{-1}(B) = \varnothing )。

可测函数的定义是：

函数 ( $\mathcal{A}) \to (Y, \mathcal{B})$ ) 是可测的，如果对于每一个可测集 ( $\in \mathcal{B}$ )，它的原像 ( $f^{-1}(B)$ ) 都属于 ( $A\mathcal{A}$ )。

这里的关键是：我们是在询问“哪些点 ( x ) 被映射到了集合 ( B ) 中？”。这个问题的答案是一个集合（即原像），而我们要求这个答案集合必须是可测的。

这个过程完全不需要 ( f ) 有反函数：

示例分析：
让我们看一个没有反函数的例子： $\mathbb{R} \to \mathbb{R} with f(x) = x^2$ 。

它不是单射（因为 $f (2) = f (- 2) = 4$ ），也不是满射（如果陪域是 ( $R\mathbb{R}$ )，那么负数没有原像），所以反函数 ( $f^{-1}$ ) 不存在。
但是，它的原像无处不在！ 例如：
- ( $f^{-1}(\{4\}) = \{-2, 2\}$ ) （一个集合，不是一个数）
- ( $f−1((1,4]))=[−2,−1)∪(1,2]f^{-1}((1, 4])) = [-2, -1) \cup (1, 2]$ ) （两个区间的并集）
- ( $f−1((−∞,0]))=∅f^{-1}((-\infty, 0])) = \varnothing$ )

可测性的问题就是：如果我们规定 ( $R\mathbb{R}$ ) 上的可测集是勒贝格可测集，那么对于 ( $R\mathbb{R}$ ) 上的任何一个博雷尔集 ( B )（例如一个开区间），上面计算出的原像集合是否是勒贝格可测的？对于 ( $f(x) = x^2$ )，答案是肯定的。

为了避免混淆，有些教材会使用不同的符号，比如 ( $f^{*}$ ) 或 ( $f←f^{\leftarrow}$ ) 来表示原像映射。但惯例上仍然广泛使用 ( f^{-1} )。

一个很好的类比：
想象一个函数 ( f ) 是一个分发机器。

你投入一个原料 ( x )，它产出一个产品 ( y = f(x) )。
反函数 ( $f^{-1}$ )：是一个“逆向机器”。你投入一个产品 ( y )，它必须唯一地吐出生产它所使用的那个原料 ( x \）。这台机器只有在下游产品与上游原料是一一对应时才能制造。
原像 ( $f^{-1}(B)$ )：是一个“原料筐”。你指定一类产品 ( B )（比如“所有一等品”），这个筐子里装的就是所有能生产出这类产品的原料。这个筐子永远存在。