神经网络|(十八)概率论基础知识-伽马函数溯源-阶乘的积分表达式
【1】引言
前序学习进程中，已经初步学习了伽马函数入门和伽马函数溯源初步，
今天继续溯源伽马函数。
【2】对数函数转换为指数函数
在伽马函数溯源初步中，我们已经证明：
当sss为正整数nnn时，
∫01(−lnt)sdt=s!\int_{0}^{1}(-lnt)^sdt=s!∫01(−lnt)sdt=s!
积分式和阶乘式相等，阶乘式和积分式的等价形式有了雏形。
但现实中的积分式却存在一种情况，当s≤−1s\leq-1s≤−1时，积分∫01(−lnt)sdt\int_{0}^{1}(-lnt)^sdt∫01(−lnt)sdt本身是发散的，因此有必要引入衰减因子，让积分函数的定义域覆盖面更广。
实际上我们最后见到的伽马函数式是积分式，所以如果着急，学到当前这一步依然令人迷惑。
我们回到之前提过的积分变换：
首先令u=−lntu=-ln tu=−lnt，有：du=−1tdtdt=−tdut=e−udu=-\frac{1}{t}dt\\ dt=-tdu \\t=e^{-u}du=−t1dtdt=−tdut=e−u
此时被积函数变换为：
(−lnt)s=us(-lnt)^s=u^s(−lnt)s=us
当t→0+t\rightarrow 0^+t→0+时，u=−lnt=+∞u=-lnt=+\inftyu=−lnt=+∞
当t→1t\rightarrow 1t→1时，u=−lnt=0u=-lnt=0u=−lnt=0
将上述变换代入积分式：
∫01(−lnt)sdt=∫+∞0us(−t)du=∫+∞0us(−eu)du=∫0+∞use−udu\int_{0}^{1}(-lnt)^sdt=\int_{+\infty}^{0}u^s(-t)du=\\ \int_{+\infty}^{0}u^s(-e^u)du=\int_{0}^{+\infty}u^se^{-u}du∫01(−lnt)sdt=∫+∞0us(−t)du=∫+∞0us(−eu)du=∫0+∞use−udu
所以，此时非常重要的，阶乘的积分表示为：
x!=∫0+∞use−udux!=\int_{0}^{+\infty}u^se^{-u}dux!=∫0+∞use−udu
【3】总结
说实话写到这一步有点醉，因为这个学习过程有点翻来覆去，这部分内容先讲到这里，理解到这里已经不耽误使用，大家大可放心继续向前学习其他新知识。