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【算法】124.二叉树中的最大路径和--通俗讲解

ai 2025/9/2 13:23:31

通俗易懂讲解“二叉树的最大路径和”算法题目

一、题目是啥？一句话说清

在二叉树中找一条路径（任意节点序列，每个节点最多有一个父节点和一个子节点），使得路径上所有节点的值之和最大，这条路径不一定经过根节点，但至少包含一个节点。

示例：

输入：二叉树，节点值可能为负
输出：最大路径和，例如在二叉树 [-10,9,20,null,null,15,7] 中，最大路径和是 42（路径 15 → 20 → 7）

二、解题核心

使用递归方法，从叶子节点开始向上计算每个节点能提供的最大贡献值，同时在每个节点处计算以该节点为顶点的路径和，并更新全局最大路径和。 这就像每个节点向父节点报告“我能为你提供的最大价值是多少”，而父节点则结合左右孩子的报告计算“如果路径以我为中心，总和能有多大”。

三、关键在哪里？（3个核心点）

想理解并解决这道题，必须抓住以下三个关键点：

1. 递归计算节点贡献值

是什么：对于每个节点，递归计算以该节点为起点的最大路径和（即从该节点向下延伸的路径，只能选择左或右一条分支）。
为什么重要：这提供了节点对父节点的贡献值，帮助父节点计算更长的路径。

2. 更新全局最大路径和

是什么：在每个节点处，计算以该节点为顶点的路径和（即节点值 + 左子树贡献 + 右子树贡献），并用此更新全局最大值。
为什么重要：最大路径和可能出现在任何节点为顶点的路径上，而不一定是根节点。

3. 处理负值贡献

是什么：如果子树的贡献值为负，则选择不包含该子树（即贡献值取0），因为负贡献会减少总和。
为什么重要：这确保了路径和不会被负值拖累，从而找到真正的最大值。

四、看图理解流程（通俗理解版本）

让我们用二叉树 [-10,9,20,null,null,15,7] 为例来可视化过程：

从叶子节点开始：
- 节点15：左贡献=0，右贡献=0，以15为顶点的路径和=15。报告给父节点的贡献值=max(15,0)=15。
- 节点7：左贡献=0，右贡献=0，以7为顶点的路径和=7。报告贡献值=max(7,0)=7。
处理节点20：
- 左贡献=15（来自左子树15），右贡献=7（来自右子树7）。
- 以20为顶点的路径和=20 + 15 + 7 = 42（这是全局最大路径和）。
- 报告给父节点的贡献值=20 + max(15,7) = 20 + 15 = 35（因为只能选一条分支）。
处理节点9：
- 左贡献=0，右贡献=0（因为无子树），以9为顶点的路径和=9。
- 报告贡献值=max(9,0)=9。
处理根节点-10：
- 左贡献=9（来自左子树9），右贡献=35（来自右子树20）。
- 以-10为顶点的路径和=-10 + 9 + 35 = 34，但34 < 42，所以全局最大值仍是42。
- 报告贡献值=-10 + max(9,35) = -10 + 35 = 25（但25>0，所以报告25？不，实际上如果贡献为负，应该返回0，但这里25是正数）。

注意：在计算贡献值时，如果贡献为负，我们返回0，表示不包含该分支。所以根节点-10的贡献值应该是 max(-10 + max(9,35), 0) = max(25,0)=25？但根据算法，我们直接计算节点值加左右贡献的较大值，但如果结果为负，则返回0。

实际上，在递归函数中，我们计算节点的贡献值时，如果左或右贡献为负，我们就不取（即取0），所以对于根节点-10，贡献值 = -10 + max(左贡献,0) + max(右贡献,0)？不对，递归函数返回的是从该节点向下延伸的最大路径和（只能选一条分支），所以对于根节点，贡献值 = -10 + max( max(左贡献,0), max(右贡献,0) )？但左贡献是9（正），右贡献是35（正），所以贡献值 = -10 + max(9,35) = 25？但25是正数，所以返回25。

但在更新全局最大值时，我们计算以节点为顶点的路径和：节点值 + max(左贡献,0) + max(右贡献,0)。对于根节点，就是 -10 + 9 + 35 = 34。

最终全局最大值是42，来自节点20。