实变函数 第二章 点集

§2 点集

2.1 欧式空间

2.1.1 度量空间、欧式空间

$\text{Definition}$ 度量空间 (距离空间)

若 $\forall x,y\in X:\exists d:(x,y)\to \mathbb{R}$，满足：

1. $d(x,y)=d(y,x)⩾0$；
2. $\forall z:d(x,y)⩽d(x,z)+d(y,z)$ (三点不等式)

则称 $(X,d)$ 为度量空间，$X$ 中元素称为点，$d$ 称为点 $x,y$ 之间的距离.若 $X\supseteq Y\ne \varphi$，则称 $(Y,d)$ 为 $(X,d)$ 的子空间.

$\text{Definition}$ $n$ 维欧式空间

• $\forall x,y\in \mathbb{R}:$
  $$d(x,y)=|x-y|$$
• $\forall x=(x_1,x_2),y=(y_1,y_2)\in {\mathbb{R}}^2:$
  $$\begin{gathered} d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+(x_2-y_2{)}^2} \\ ⋮ \end{gathered}$$
• $\forall x=(x_1,\cdots ,x_n),y=(y_1,\cdots ,y_n)\in {\mathbb{R}}^n:$
  $$d(x,y)=\sqrt{\sum _{k=1}^n(x_k-y_k{)}^2}$$
  其中 $({\mathbb{R}}^n,d)$ 称为 $n$ 维欧式空间，简记为 ${\mathbb{R}}^n$，$d$ 称为欧几里得距离.

2.1.2 邻域、矩体

$\text{Definition}$ 邻域
U ( P 0 ) = U ( P 0 , δ ) = { P : d ( P , P 0 ) < δ } U(P_0)=U(P_0,\delta)=\{P:d(P,P_0)<\delta\} U(P0​)=U(P0​,δ)={P:d(P,P0​)<δ}

$\text{Definition}$ $n$ 维区间(矩体)
点集
$$I:=\{(x_1,\cdots ,x_n):a_i<x_i<b_i\}$$
称 $n$ 维开区间(开矩体)，改换不等号即为闭区间、半开半闭区间. $b_i-a_i$ 称为第 $i$ 个边长，$|I|:=\prod _{i=1}^n(b_i-a_i)$ 称为体积.

2.1.3 点集距离、点集直径、有界点集

$\text{Definition}$ 两个非空点集的距离
d ( E , F ) = inf ⁡ { d ( x , y ) : x ∈ E , y ∈ F } d(E,F)=\inf\{d(x,y):x\in E,y\in F\} d(E,F)=inf{d(x,y):x∈E,y∈F}

$\text{Definition}$ 一个非空点集直径
$$\mathrm{diam}(E)=\underset{P,Q\in E}{\sup }d(P,Q)$$

$\text{Definition}$ 有界点集
设 $E\subset {\mathbb{R}}^n$，若
$$\mathrm{diam}E<\infty$$
则称 $E$ 为有界点集(包含空集).

2.2 欧式空间的点

2.2.1 内点、外点、界点

$\text{Definition}$ 内点、外点、界点

设 $E\subseteq {\mathbb{R}}^n,P_0\in {\mathbb{R}}^n$

1. 内点：
   $$\exists U(P_0)\subseteq E$$
   开核(全体内点)：
   E o : = { x : ∃ U ( x ) ⊆ E } \overset{o}{E}:=\{x:\exists\ U(x)\subseteq E\} Eo:={x:∃ U(x)⊆E}
2. 外点： $P_0$ 是 $E^c$ 的内点，即 $$\exists U(P_0)\subseteq E^c$$
3. 界点： $P_0$ 既非 $E$ 内点也非外点. 即
   $$\forall U(P_0):U(P_0)\cap E\ne \varphi \wedge U(P_0)\cap E^c\ne \varphi$$
   边界(全体界点)： ∂ E : = { x : ∀ U ( x ) : U ( x ) ∩ E ≠ ϕ ∧ U ( x ) ∩ E c ≠ ϕ } \partial E:=\{x:\forall U(x):U(x)\cap E\ne\phi\wedge U(x)\cap E^c\ne\phi\} ∂E:={x:∀U(x):U(x)∩E=ϕ∧U(x)∩Ec=ϕ}

若 $E\ne \varphi 、{\mathbb{R}}^n$，则 $E$ 至少有一个界点，即 $\partial E\ne \varphi$.

2.2.2 聚点、孤点

$\text{Definition}$ 聚点、孤点、闭包

1. 聚点： 以下三种表述等价
   • $P_0$ 的任何邻域都含有无穷多 $E$ 的点. 即 $$\forall U(P_0)\cap E为无限集$$
   • $P_0$ 的任一邻域内至少含有一个属于 $E$ 而异于 $P_0$ 的点. 即
     ∀ U ( P 0 ) ∩ E \ { P 0 } ≠ ϕ \forall U(P_0)\cap E\backslash \{P_0\}\ne\phi ∀U(P0​)∩E\{P0​}=ϕ
   • 存在 $E$ 中互异点列 { P n } \{P_n\} {Pn​} 收敛于 $P_0$. 即
     ∃ { P n } ∀ i ≠ j : P i ≠ P j ⊆ E , s . t . P n → P 0 ( n → ∞ ) \exists\underset{\forall i\ne j:P_i\ne P_j}{\{P_n\}}\subseteq E,\ \mathrm{s.t.}\ P_n\to P_0(n\to\infty) ∃∀i=j:Pi​=Pj​{Pn​}​⊆E, s.t. Pn​→P0​(n→∞)

• 导集(全体聚点)：
  E ′ : = { x : ∀ U ( x ) : U ( x ) ∩ E \ { x } ≠ ϕ } E':=\{x:\forall U(x):U(x)\cap E\backslash \{x\}\ne\phi\} E′:={x:∀U(x):U(x)∩E\{x}=ϕ}

2. 孤立点： $P_0\in E$ 但非 $E$ 的聚点. 即
   ∃ U ( P 0 ) ∩ E = { P 0 } \exists\ U(P_0)\cap E=\{P_0\} ∃ U(P0​)∩E={P0​}

• 全体孤立点： E \ E ′ = { x : ∃ U ( x ) ∩ E = { x } } E\backslash E'=\{x:\exists\ U(x)\cap E=\{x\}\} E\E′={x:∃ U(x)∩E={x}}

3. 闭包：
   E ‾ : = E ∪ E ′ = { x : ∀ U ( x ) : U ( x ) ∩ E ≠ ϕ } = E ∪ ∂ E = E o ∪ ∂ E \begin{align*} \overline{E}&:=E\cup E'=\{x:\forall U(x):U(x)\cap E\ne\phi\} \\&\ =E\cup\partial E=\overset{o}{E}\cup\partial E \end{align*} E​:=E∪E′={x:∀U(x):U(x)∩E=ϕ} =E∪∂E=Eo∪∂E​

Tips: 有限集没有聚点.

$\text{Theorem}$ $\text{Bolzano-Weierstrass}$ 定理(聚点定理)

若 $E$ 为有界无限集，则 $E$ 至少有一个聚点.

2.2.3 几类点的关系

${\mathbb{R}}^n$ 中的点可以分类为点集 $E$ 的 (1) 内点、界点、外点 或 (2) 聚点、孤立点、外点.

• 界点是聚点或孤立点.
• 内点必为聚点，但聚点可能是内点或界点.
• $E$ 的内点属于 $E$，但 $E$ 的界点或聚点不一定属于 $E$.

2.3 欧式空间的基本点集

2.3.1 开集、闭集、紧集

$\text{Definition}$ 开集、闭集

设 $E\subseteq {\mathbb{R}}^n$.

• 开集(open set)： $E$ 的每个点都是 $E$ 的内点. 即
  $$E\subseteq \stackrel{o}{E}\iff E=\stackrel{o}{E}$$

• 闭集(closed set)： $E$ 的每个聚点都属于 $E$. 即
  $$E^{\prime }\subseteq E\iff \partial E\subseteq E$$

开集、闭集通常由 $G$、$F$ 表示.

Tips:

1. 二者具有对偶性，取余集开闭互换.
2. $\forall E\subset {\mathbb{R}}^n$，开核 $\stackrel{o}{E}$ 为开集，导集 $E^{\prime }$ 、闭包 $\overline{E}$ 为闭集.
3. (1) 任意开集之并仍为开集，有限个开集之交仍为开集.
   (2) 任意闭集之交仍为闭集，有限个闭集之并仍为闭集.

$\text{Theorem}$ $\text{Heine-Borel-Lebesgue}$ 定理(有限覆盖定理)

在 ${\mathbb{R}}^n$ 中有界闭集的任一开覆盖必存在有限子覆盖.

$\text{Definition}$ 紧集

• 紧集(compact set)： 任一族覆盖 $E$ 的开集，若可从中选出有限个开集仍然覆盖 $E$，则 $E$ 为紧集. (或表述为：若 $E$ 的任意开覆盖，都存在有限子覆盖，则 $E$ 为紧集.)

Tips:

有限维欧式空间 ${\mathbb{R}}^n$ 中，紧集与有界闭集等价；在 ${\mathbb{R}}^{\infty }$ 或其他空间中，二者不等价.

2.3.2 自密集、完备集

$\text{Definition}$ 自密集、完备集

设 $E\subseteq {\mathbb{R}}^n$

1. 自密集： 集合中每个点都是这个集的聚点. 或者说 没有孤立点的集. 即
   $$E\subseteq E^{\prime }$$

2. 完备集(完全集)： 是自密集且是闭集. 或者说 没有孤立点的闭集. 即
   $$E=E^{\prime }$$

Tips: $\mathbb{R}$ 中有理数全体为自密集；$\mathbb{R}$ 中任一闭区间及全直线为完备集.

2.3.3 开、闭、完备集构造

$\text{Definition}$ 构成区间

设 $G$ 是直线上的开集，若开区间 $(\alpha ,\beta )\subseteq G$，且 $\alpha ,\beta \notin G$，则称 $(\alpha ,\beta )$ 为 $G$ 的构成区间.

$\text{Theorem}$ 开集构造定理

直线上任一个非空开集可以表示成有限或可数个互不相交的构成区间的和集.

2.2.4 康托尔三分集