平面椭圆转化为三阶Bezier曲线的方法

将一个平面椭圆（Ellipse）近似为三阶（三次）贝塞尔曲线（Cubic Bezier Curve）是计算机图形学和矢量绘图中的常见操作。由于椭圆是二次有理曲线，而标准的三次贝塞尔曲线是多项式曲线，因此无法用单条三次贝塞尔曲线精确表示整个椭圆，但可以用多段三次贝塞尔曲线来高精度近似整个椭圆。

最常用且效果较好的方法是使用 4 段三次贝塞尔曲线 来近似一个完整的椭圆。

目标：用 4 段三次贝塞尔曲线近似一个标准椭圆

椭圆方程：
x²/a² + y²/b² = 1

其中：

• a：长半轴（沿 x 轴）
• b：短半轴（沿 y 轴）

近似原理

将椭圆按四个象限分割，每段 90°，每段用一条三次贝塞尔曲线逼近。
三次贝塞尔曲线定义为：
B(t) = (1−t)³P₀ + 3(1−t)²tP₁ + 3(1−t)t²P₂ + t³P₃, t ∈ [0,1]

四段贝塞尔曲线控制点

第1象限（从 (a, 0) 到 (0, b)）

P₀ = (a, 0)
P₁ = (a, k·b)
P₂ = (k·a, b)
P₃ = (0, b)

第2象限（从 (0, b) 到 (−a, 0)）

P₀ = (0, b)
P₁ = (−k·a, b)
P₂ = (−a, k·b)
P₃ = (−a, 0)

第3象限（从 (−a, 0) 到 (0, −b)）

P₀ = (−a, 0)
P₁ = (−a, −k·b)
P₂ = (−k·a, −b)
P₃ = (0, −b)

第4象限（从 (0, −b) 到 (a, 0)）

P₀ = (0, −b)
P₁ = (k·a, −b)
P₂ = (a, −k·b)
P₃ = (a, 0)

关键常数 k 的取值（推荐两个版本）

经典近似值（常用）：
k = (4/3)(√2 − 1)
k ≈ 0.5522847498

更优近似值（误差更小）：
k ≈ 0.551915

注：使用 k ≈ 0.551915 可使整体逼近的最大径向误差小于 0.02%，优于经典值。