高数 不定积分（4-3）：分部积分法

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文章传送门：高数 不定积分（4-2）：换元积分法

今天再更一篇:)
上篇文章，我们在复合函数求导法则的基础上，得到了换元积分法。这篇文章，我们就要利用两个函数乘积的求导法则，了解另一个求积分的方法——分部积分法。

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分部积分法

😕 一个小问题

问题：求 $\int x^2\ln x\mathrm{d}x$.

我们发现，这个积分用换元积分法不易求得，但是，我们看到了关键：$x^2\ln x$ 具有乘积形式，所以它很有可能就来自某两个函数乘积求导的一部分。具体应该怎么做呢？接下来我们就要引出神奇的分部积分法来解决这个问题了。

✨ 分部积分法是怎么来的？

我们知道两个函数乘积的导数公式：

设 $u=u(x)$，$v=v(x)$ 具有连续导数，则 $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$.

也就是“前导后不导+后导前不导”。

移项，就可以得到：$u{v}^{\prime }=(uv{)}^{\prime }-u^{\prime }v$.
我们对这个式子两边求不定积分，就会得到这样一个式子：$$\int u{v}^{\prime }\mathrm{d}x=uv-\int u^{\prime }v\mathrm{d}x.$$ 那么这个公式，就称为分部积分公式。为了简便起见，我们也可以将这个公式写成：$$\int u\mathrm{d}v=uv-\int v\mathrm{d}u.$$ 就像上面的问题一样，当求 $\int u{v}^{\prime }\mathrm{d}x$ 有困难，而求 $\int u^{\prime }v\mathrm{d}x$ 相对容易时，分部积分公式就可以发挥作用了。

我们先来解决上面的问题：求 $\int x^2\ln x\mathrm{d}x$.

该怎么求呢？我们首先需要选出分部积分公式左端的“u”和“dv”。确定了它们，才可以进行后续的运算。根据被积函数的形式，我们可以设 $u=\ln x$，$\mathrm{d}v=x^2\mathrm{d}x$ 即 $v=\frac{1}{3}{x}^3$，下面就可以根据分部积分公式运算了。

$I=\frac{1}{3}\int \ln x\mathrm{d}(x^3)=\frac{1}{3}(\ln x\cdot x^3-\int x^3\mathrm{d}\ln x)=\frac{1}{3}(x^3\ln x-\int x^3\cdot \frac{1}{x}\mathrm{d}x)=\frac{1}{3}(x^3\ln x-\frac{1}{3}{x}^3)+C$.

注意常系数可以自由进出积分号（不定积分的一个性质）。

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🌰 几个小例子

我们再来看几个书上的例子：

eg1. 求 $\int x\cos x\mathrm{d}x$.

这个积分用换元公式也不容易求出结果，所以我们试试用分部积分法来求。我们设 $u=x$，$\mathrm{d}v=\cos x\mathrm{d}x$，则 $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$，$v=\sin x$.
代入分部积分公式，可得：$I=x\sin x-\int \sin x\mathrm{d}x$.
而 $\int v\mathrm{d}u=\int \sin x\mathrm{d}x$ 容易积出，$\int \sin x\mathrm{d}x=-\cos x+C$，所以：
$I=x\sin x+\cos x+C.$

*但是我们发现，如果设 $u=\cos x$，$\mathrm{d}v=x\mathrm{d}x$，那么通过分部积分公式得出的被积表达式会更不容易求出。所以在使用分部积分法时，一定要注意 $u$ 和 $\mathrm{d}v$ 的选取。其实根据上面的两个例子，我们就能大概感觉到选取 $u$ 和 $\mathrm{d}v$ 的规则了：

• $v$ 要容易求得；
• $\int v\mathrm{d}u$ 要比 $\int u\mathrm{d}v$ 更容易积出。

eg2. 求 $\int x{e}^x\mathrm{d}x$.

我们可以尝试用简化版的分部积分公式写：
$I=\int x\mathrm{d}(e^x)=x{e}^x-\int e^x\mathrm{d}x=x{e}^x-e^x+C=(x-1)e^x+C$.

eg3. 求 $\int x^2{e}^x\mathrm{d}x$.

设 $u=x^2$，$\mathrm{d}v=e^x\mathrm{d}x$
则 $\int x^2{e}^x\mathrm{d}x=\int x^2\mathrm{d}(e^x)=x^2{e}^x-2\int x{e}^x\mathrm{d}x$.
根据 eg2 的结论，再用一次分部积分法就可以了。最终可得结果：$I=e^x(x^2-2x+2)+C$.

通过上面的例子我们可以知道，如果被积函数是幂函数和正（余）弦函数或幂函数和指数函数的乘积，那么就可以考虑分部积分法，并且设幂函数为 $u$. 这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂次降低一次（假定幂指数是正整数）。

eg4. 求 $\int \arccos x\mathrm{d}x$.

设 $u=\arccos x$，$\mathrm{d}v=\mathrm{d}x$
则 $I=x\arccos x-\int x\mathrm{d}(\arccos x)=x\arccos x+\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x=x\arccos x-\frac{1}{2}\int \frac{1}{(1-x^2{)}^{\frac{1}{2}}}\mathrm{d}(1-x^2)=x\arccos x-\sqrt{1-x^2}+C$.

我们也可以知道，如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可以考虑分部积分法，并设对数函数或反三角函数为 $u$.

还有一些例子，方法比较典型。

eg5. 求 $\int e^x\sin x\mathrm{d}x$.

$I=\int \sin x\mathrm{d}(e^x)=e^x\sin x-\int e^x\cos \mathrm{d}x$.
对等式右端的积分再用一次分部积分法，得：$I=e^x\sin x-\int \cos x\mathrm{d}(e^x)=e^x\sin x-e^x\cos x-\int e^x\sin x\mathrm{d}x$.
我们将上式右端的第三项进行移项，再在等式两边同除以 2，就可以得到 $I=\frac{1}{2}{e}^x(\sin x-\cos x)+C$.

这种方法就有点“解方程”的感觉。
再次提醒什么时候 $+C$：当所有积分号都去掉的时候，就要加上任意常数 $C$.

同时，在积分的过程中，我们也会兼用换元法与分部积分法，比如⬇️

eg6. 求 $\int e^{\sqrt{x}}\mathrm{d}x$.

我们令 $\sqrt{x}=t$，则 $x=t^2$，$\mathrm{d}x=2t\mathrm{d}t$. 所以 $I=2\int t{e}^t\mathrm{d}t$.
再利用 eg2 的结果，并用 $t=\sqrt{x}$ 代回，便得到所求积分：$I=2e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1)+C$.

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⭐ 最终总结！

• 分部积分法：恰当地选取 $u$ 和 $\mathrm{d}v$.
• 一般可依次选取 $u$ 的顺序为：反对幂指三，即对于 $\int x^a$ ➕ $e^x$ / $\ln x$ / 三角函数 / 反三角函数 $\mathrm{d}x$：
  • 将 $e^x$，三角函数放在 $\mathrm{d}$ 后，而 $\ln x$，反三角函数留在 $\mathrm{d}$ 前。
  • 两个函数相乘，把其中一个函数往后拿，谁容易积分谁就往后拿。

什么意思呢？$u$ 和 $\mathrm{d}v$ 的选取就像元素的化学性质。$e^x$ 容易积分，就好比金属铯遇到水会炸。由于 $e^x$ 和三角函数（$\sin x$ 和 $\cos x$）容易积分，所以在选择 $\mathrm{d}v$ 的时候优先选它们，而选择 $u$ 的时候则会考虑那些不那么容易积分的函数，就让它们赖在那里不动，比如说反三角和对数函数。而幂函数就像是中间人，它可以充当 $u$，也可以充当 $\mathrm{d}v$，这种时候就得看情况了。

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后话

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