振动力学：复模态法和状态空间描述（一般阻尼系统的自由振动）

本文介绍基于复模态理论、状态空间描述法、主坐标变换的阻尼系统自由振动求解方法。阻尼系统的固有频率和特征向量通常是复数形式，如果阻尼矩阵可对角化（即可解耦），则模态为实数，反正若不存在对角化的阻尼矩阵，则为复振型。

现在考虑文章1中的式(5.1)，它描述了线性粘性阻尼系统的运动：
$$\begin{array}{rl}& \mathbf{M}\ddot{\mathbf{u}}(t)+\mathbf{C}\dot{\mathbf{u}}(t)+\mathbf{K}\mathbf{u}(t)=\mathbf{f}(t)\\ & \mathbf{u}(0)={\mathbf{u}}_0,\dot{\mathbf{u}}(0)={\dot{\mathbf{u}}}_0\end{array}(1)$$

对于一般情况的阻尼矩阵，不可对角化，因此式(1)不可解耦，于是考虑状态空间描述。引入由位移和速度组成的$2N$维状态向量，记为$\mathbf{v}(t)$：
v ( t ) = [ u ( t ) , u ˙ ( t ) ]