均衡后的SNRSINR

本文主要摘自参考文献中的前两篇，相关文献中经常会出现MIMO检测后的SINR不过一直没有找到相关数学推到过程，其中文献[1]中给出了相关原理在此仅做记录。

1. 系统模型

复信道模型

$n_t$ 根发送天线，$n_r$ 根接收天线的 MIMO 系统（$n_t<n_r$）。$\mathbf{x}$ 表示发送符号向量，$\mathbf{x}$ 中的元素都来自于一个已知的字母表 $\mathbb{A}$ 中（例如 QAM），即 $\mathbf{x}\in {\mathbb{A}}^{n_t}$ ，并且 $\mathbb{E}\left[{\mathbf{xx}}^H\right]={\mathbf{I}}_{n_t}$ ，接收信号向量 $\mathbf{y}\in {\mathbb{C}}^{n_r}$，可以表示为：

$$\mathbf{y}=\mathbf{Hx}+\mathbf{n}\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

其中 $\mathbf{H}\in {\mathbb{C}}^{n_r\times n_t}$ 表示 $n_r\times n_t$ 大小的信道响应矩阵，其元素均建模为独立同分布的均值为 $0$ 方差为 $1$ 的复高斯随机变量。$\mathbf{n}$ 表示复的 AWGN 向量，并满足 $\mathbb{E}\left[{\mathbf{nn}}^H\right]={\sigma }^2{\mathbf{I}}_{n_r}$，假设接收端知道正确的 $\mathbf{H}$，而发送端对 $\mathbf{H}$ 一无所知。

有了以上的假设，系统模型 $(1.1)$ 的似然函数可以写成：

$$p(y|H,\mathbf{x})=\frac{1}{(\pi {\sigma }^2{)}^{n_r}}\exp \left(\frac{1}{{\sigma }^2}||\mathbf{y}-\mathbf{Hx}|{|}^2\right)\text{\hspace{1em}(1.2)}$$

实信道模型

$(1.1)$ 模型的实值等效系统模型为：
$${\mathbf{y}}_{\mathbf{r}}={\mathbf{H}}_{\mathbf{r}}{\mathbf{x}}_{\mathbf{r}}+{\mathbf{n}}_{\mathbf{r}}\text{\hspace{1em}(1.3)}$$

其中

$$\begin{gathered} {\mathbf{H}}_{\mathbf{r}}\triangleq \left[\begin{array}{cc}\Re (\mathbf{H})& -\Im (\mathbf{H})\\ & \\ \Im (\mathbf{H})& \Re (\mathbf{H})\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^{2n_r\times 2n_t},{\mathbf{y}}_{\mathbf{r}}\triangleq {\left[\begin{array}{cc}\Re (\mathbf{y}{)}^T& \Im (\mathbf{y}{)}^T\end{array}\right]}^T\in {\mathbb{R}}^{2n_r}, \\ {\mathbf{x}}_{\mathbf{r}}\triangleq {\left[\begin{array}{cc}\Re (\mathbf{x}{)}^T& \Im (\mathbf{x}{)}^T\end{array}\right]}^T\in {\mathbb{R}}^{2n_t},{\mathbf{n}}_{\mathbf{r}}\triangleq {\left[\begin{array}{cc}\Re (\mathbf{n}{)}^T& \Im (\mathbf{n}{)}^T\end{array}\right]}^T\in {\mathbb{R}}^{2n_t}. \end{gathered}$$

注意：实值模型 $(1.3)$ 中 ${\mathbf{x}}_{\mathbf{r}}$ 的元素都来自于 PAM 字母表，这个 PAM 字母表是由复值模型 $(1.1)$ 的 QAM 字母表转换得到的。

注解：公式 $(1.2)$ 的来由

在复值模型 $(1.1)$ 中，$\mathbf{n}$ 满足 $\mathbb{E}\left[{\mathbf{nn}}^H\right]={\sigma }^2{\mathbf{I}}_{n_r}$ ，对于 $\mathbf{n}$ 中的元素 $n=n_r+i{n}_i$ 来说，其方差 $\mathbb{D}\left[n\right]={\sigma }^2$，同时有:
$$\mathbb{D}\left[n\right]=2\mathbb{D}\left[n_r\right]=2\mathbb{D}\left[n_i\right]$$
$n$ 的概率密度函数为:
$$p(n)=\frac{1}{\pi {\sigma }^2}\exp \left(-\frac{n^2}{{\sigma }^2}\right)$$
接收信号 $\mathbf{y}$ 的元素可以表示为：
$$y_i={\mathbf{h}}_i^T\cdot \mathbf{x}+n_i$$
其中 ${\mathbf{h}}_i$ 表示 $\mathbf{H}$ 的第 $i$ 行。对于给定的 ${\mathbf{h}}_i$ 和 $\mathbf{x}$ ， $y_i$ 相当于是均值为 ${\mathbf{h}}_i^T\cdot \mathbf{x}$ ，方差为 ${\sigma }^2$ 的复高斯随机变量，那么其似然函数就是：
$$p(y_i|{\mathbf{h}}_i,\mathbf{x})=\frac{1}{\pi {\sigma }^2}\exp \left(-\frac{(y_i-{\mathbf{h}}_i^T\cdot \mathbf{x}{)}^2}{{\sigma }^2}\right)=\frac{1}{\pi {\sigma }^2}\exp \left(-\frac{n_i^2}{{\sigma }^2}\right)=p(n_i)$$

对于接收向量 $\mathbf{y}$ 来说， $y_i,i=1,2,...,n_r$ 之间是相互独立的，所以：

$$p(y|H,\mathbf{x})=\prod _{i=1}^{n_r}p(y_i|{\mathbf{h}}_i,\mathbf{x})=\frac{1}{(\pi {\sigma }^2{)}^{n_r}}\exp \left(\frac{1}{{\sigma }^2}||\mathbf{y}-\mathbf{Hx}|{|}^2\right)=\frac{1}{(\pi {\sigma }^2{)}^{n_r}}\exp \left(\frac{1}{{\sigma }^2}||\mathbf{n}|{|}^2\right)$$

SNR 定义

SNR 定义如下：

$$SNR=\frac{\mathbb{E}\left[||\mathbf{Hx}|{|}_2^2\right]}{\mathbb{E}\left[||\mathbf{n}|{|}_2^2\right]}=\frac{\mathbb{E}\left[tr(\mathbf{Hx}(\mathbf{Hx}{)}^H)\right]}{\mathbb{E}\left[tr({\mathbf{nn}}^H)\right]}=\frac{tr\left(\mathbf{H}\mathbb{E}\left[{\mathbf{xx}}^H\right]{\mathbf{H}}^H\right)}{tr\left(\mathbb{E}\left[{\mathbf{nn}}^H\right]\right)}=\frac{tr({\mathbf{HH}}^H)}{N_r\times {\sigma }^2}$$

注：信道响应矩阵的元素 $h_{ij}$ 满足 $h_{ij}\sim CN(0,1)$ , 但每次计算信噪比时 $\mathbf{H}$ 视为已知。

2. 最优检测

在接收端，检测机对发送信号进行估计，的到发送信号的估计值 $\hat{\mathbf{x}}$ ，能够让平均错误概率 $p(\hat{\mathbf{x}}\ne \mathbf{x})$ 最小的检测器为性能最优的检测器。最大似然（ML）检测器通过穷举解出使得 $\mathbf{y}$ 和 $\mathbf{Hx}$ 的欧式距离最小的 $\mathbf{x}$ 可以达到最优性能，其中 $\mathbf{x}\in {\mathbb{A}}^{n_t}$ 。即：

$$\widehat{{\mathbf{x}}_{\mathbf{ML}}}=\underset{\mathbf{x}\in {\mathbb{A}}^{n_t}}{\mathrm{argmin}}||\mathbf{y}-\mathbf{Hx}|{|}^2\text{\hspace{1em}(2.1)}$$

穷举方法求解 $(2.1)$ 的计算复杂度随 $n_t$ 呈指数级增长，ML 检测器通常作为衡量其他检测器性能的基准。但是当 $n_t$ 很大时，ML 检测器因其计算复杂度之高而变得不可实现。

在 ML 不好实现时，可以使用一些低复杂度场景下的 ML 性能曲线作为 MIMO 场景下的 ML 性能曲线的界限。例如，大 $n_t$ 情况下，非衰落的 SISO-AWGN 的 ML 性能曲线可以作为 MIMO场景 ML 性能的下界。

3. 线性检测

线性检测通过对接收信号进行线性变换估计出软的发送符号，再由软符号映射到硬符号，即：$\hat{\mathbf{x}}=f(\mathbf{Gy})$ ，其中 $\mathbf{G}$ 为变换矩阵，$f(.)$ 表示软符号到硬符号的映射函数，映射方法就是把 $\mathbf{Gy}$ 的每一个元素映射为字母表 $\mathbb{A}$ 中与该元素距离最近的符号。线性检测的最大优势就是其复杂度低。

MF 检测器

MF 检测器在检测某一个发送符号时，把其他所有的发送符号都看作噪声。通过信道之间的相关性去消除其他发送符号的干扰。定义 ${\mathbf{h}}_i,i=1,2,...,n_t$ 表示信道矩阵 $\mathbf{H}$ 的第 $i$ 列。则系统模型 $1.1$ 可以写成如下形式：

$$\mathbf{y}=\mathbf{Hx}+\mathbf{n}=\sum _{i=1}^{n_t}{\mathbf{h}}_i{x}_i+n={\mathbf{h}}_k{x}_k+\sum _{i=1i\ne k}^{n_t}{\mathbf{h}}_i{x}_i+n\text{\hspace{1em}(3.1)}$$

式 $(3.1)$ 中的第一项是第 $k$ 个发送符号 $x_k$ 对接收信号 $\mathbf{y}$ 贡献的部分，第二项是其他发送符号贡献的部分，那么在考虑检测符号 $x_k$ 时，其他发送符号的部分（式 $(3.1)$ 的第二项）就是干扰。MF 检测器在检测时将这些干扰看作是噪声，通过以下方式去估计软符号：

$$\tilde{x}={\mathbf{h}}_k^{\ast }\mathbf{y}\text{\hspace{1em}(3.2)}$$

其中 ${\mathbf{h}}_k^{\ast }$ 表示向量 ${\mathbf{h}}_k$ 的共轭转置，写成向量的形式，MF 检测器的检测方程为：

$${\tilde{\mathbf{x}}}_{MF}={\mathbf{H}}^H\mathbf{y}\text{\hspace{1em}(3.3)}$$

MF 检测器的变换矩阵 ${\mathbf{G}}_{MF}={\mathbf{H}}^H$ ，计算 $(3.3)$ 的复杂度为 $n_t{n}_r$ 。对于轻载系统（ $n_t\ll n_r$ ） MF 检测器的性能接近最优，但是它的性能会随着 $n_t$ 的增长而严重下降，因为随着 $n_t$ 增长，干扰会增多。

注解：$(3.2)$ 的展开

$$\tilde{x}={\mathbf{h}}_k^{\ast }\mathbf{y}={\mathbf{h}}_k^{\ast }{\mathbf{h}}_k{x}_k+\sum _{i=1i\ne k}^{n_t}{\mathbf{h}}_k^{\ast }{\mathbf{h}}_i{x}_i+{\mathbf{h}}_k^{\ast }n$$

忽略噪声，从相关性的角度来说： $\mathbf{E}\left[{\mathbf{h}}_k^{\ast }{\mathbf{h}}_k\right]=1,\mathbf{E}\left[{\mathbf{h}}_k^{\ast }{\mathbf{h}}_i\right]=0$ 。所以 ${\mathbf{h}}_k^{\ast }\mathbf{y}$ 可以消除一部分干扰，当 $n_t$ 较小时，随机变量 ${\sum }_{i=1,i\ne k}^{n_t}{\mathbf{h}}_k^{\ast }{\mathbf{h}}_i{x}_i$ 的方差比较小且均值为 $0$ ,此时可以很好的消除干扰，但是当 $n_t$ 较大时，随机变量 ${\sum }_{i=1,i\ne k}^{n_t}{\mathbf{h}}_k^{\ast }{\mathbf{h}}_i{x}_i$ 的方差会因为叠加而增大，方差大了，干扰就除“不干净了”，性能自然就下降了。

ZF 检测器

ZF 检测器使用信道矩阵 $\mathbf{H}$ 的伪逆作为变换矩阵。令维度为 $n_t\times n_r$ 的 $\mathbf{Q}$ 矩阵代表信道矩阵 $\mathbf{H}$ 的伪逆，有：

$$\mathbf{Q}=({\mathbf{H}}^H\mathbf{H}{)}^{-1}{\mathbf{H}}^H\text{\hspace{1em}(3.4)}$$

因为 ${\mathbf{QH}=\mathbf{I}}_{n_t}$ ， $\mathbf{Qy}$ 可以完全消除其他符号带来的干扰，但是在完全消除干扰的同时也增加了噪声。

令 ${\mathbf{q}}_k,k=1,2,...,n_t$ 表示 $\mathbf{Q}$ 的第 $k$ 行，那么， ${\mathbf{q}}_k\mathbf{H}$ 是一个 $n_t$ 长的行向量，并且它除了第 $k$ 个元素是 $1$ 之外其他元素都是 $0$ 。发送符号 ${\mathbf{x}}_k$ 的软估计可以写成：

$${\tilde{x}}_k={\mathbf{q}}_k\mathbf{y}={\mathbf{q}}_k\mathbf{Hx}+{\mathbf{q}}_k\mathbf{n}=x_k+{\mathbf{q}}_k\mathbf{n}\text{\hspace{1em}(3.5)}$$

式 $(3.5)$ 中的 SNR 为：

$$SN{R}_k=\frac{|x_k{|}^2}{||{\mathbf{q}}_k|{|}^2{\sigma }^2}$$

所以说 ZF 检测在消除干扰的同时给噪声功率乘上了 $||{\mathbf{q}}_k|{|}^2$ ，增强了噪声。在低信噪比条件下（ ${\sigma }^2$ 很大），噪声增强大大降低了性能，使得此时 ZF 检测算法性能要比 MF 的性能差；在高信噪比条件下（ ${\sigma }^2$ 很小），完全消除干扰使得 ZF 检测器的性能要优于 MF 检测器。ZF 检测器的变换公式为：

$${\tilde{\mathbf{x}}}_{ZF}=\mathbf{Qy}$$

ZF 检测器的变换矩阵 ${\mathbf{G}}_{ZF}=\mathbf{Q}$ ，其计算复杂度是 $n_t$ 的立方级别（因为要求伪逆），所以每个符号的复杂度就是 $n_t^2$ ，这虽然比 MF 检测算法的复杂度高了一阶，但是在大规模 MIMO 场景仍然有吸引力。与 MF 相同，在中等到重载情景，随 $n_t$ 增长，ZF 检测的性能也会严重下降。

MMSE 检测器

MMSE 检测器的变换矩阵 ${\mathbf{G}}_{MMSE}$ 是下式的解：

$$\underset{\mathbf{G}}{\min }\mathbb{E}\left[||\mathbf{x}-\mathbf{Gy}|{|}^2\right]\text{\hspace{1em}(3.6)}$$

式 $(3.6)$ 的解为：

$${\mathbf{G}}_{MMSE}={\left({\mathbf{H}}^H\mathbf{H}+{\sigma }^2{\mathbf{I}}_{n_t}\right)}^{-1}{\mathbf{H}}^H\text{\hspace{1em}(3.7)}$$

MMSE 检测的变换公式为：

$${\tilde{\mathbf{x}}}_{MMSE}={\mathbf{G}}_{MMSE}\mathbf{y}$$

MMSE 检测器组合了 MF 和 ZF 的优点。在高信噪比条件下（ $\sigma$ 很小），MMSE 的表现和 ZF 一样，因为此时式 $(3.7)$ 的第二项变得很小而无关紧要；在低信噪比条件下（ $\sigma$ 很大），MMSE 的表现很像 MF，因为随着 $\sigma \to \infty$ ， ${\mathbf{H}}^H\mathbf{H}+{\sigma }^2{\mathbf{I}}_{nt}$ 的对角线上的元素会越来越突出，它的逆矩阵就会趋向一个对角矩阵。

MMSE 检测器的性能在所有的 SNR 上都要优于 MF 和 ZF 。但是 MMSE 需要知道噪声的方差 ${\sigma }^2$ ，而 MF 和 ZF 则不需要。MMSE 也需要求逆，所以它的每符号的复杂度为 $n_t^2$ 。在中载到重载情景，MMSE 的性能也会随着 $n_t$ 的增长而下降。

注解： 式$(3.6)$ 的求解过程参见 MMSE检测算法推导
链接中给出的解为
$${\mathbf{G}}_{MMSE}={\mathbf{H}}^H{\left(\mathbf{H}{\mathbf{H}}^H+{\sigma }^2{\mathbf{I}}_{n_t}\right)}^{-1}$$
其与上文中的解是相等的，但是上文中的解的形式可以方便的与 MF、ZF 的变换矩阵作比较。
证明：
$$\begin{array}{rl}{\left({\mathbf{H}}^H\mathbf{H}+{\sigma }^2{\mathbf{I}}_{n_t}\right)}^{-1}{\mathbf{H}}^H& ={\left(({\mathbf{H}}^H{)}^{-1}({\mathbf{H}}^H\mathbf{H}+{\sigma }^2{\mathbf{I}}_{n_t})\right)}^{-1}\\ & ={\left(\mathbf{H}+({\mathbf{H}}^H{)}^{-1}{\sigma }^2{\mathbf{I}}_{n_t}\right)}^{-1}\\ & ={\left(\mathbf{H}+{\sigma }^2{\mathbf{I}}_{n_t}({\mathbf{H}}^H{)}^{-1}\right)}^{-1}\\ & ={\left((\mathbf{H}{\mathbf{H}}^H+{\sigma }^2{\mathbf{I}}_{n_t})({\mathbf{H}}^H{)}^{-1}\right)}^{-1}\\ & ={\mathbf{H}}^H{\left(\mathbf{H}{\mathbf{H}}^H+{\sigma }^2{\mathbf{I}}_{n_t}\right)}^{-1}\end{array}$$

线性检测的信干噪比 SINR

经过线性检测 $\hat{\mathbf{x}}=\mathbf{Qy}$ 后，第 $k$ 个接收符号 $x_k$ 的软估计值可以写成：

$${\tilde{x}}_k={\mathbf{q}}_k\mathbf{y}={\mathbf{q}}_k\mathbf{Hx}+{\mathbf{q}}_k\mathbf{n}={\mathbf{q}}_k\sum _{i=1}^{N_t}{\mathbf{h}}_{\mathbf{i}}{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}+{\mathbf{q}}_k\mathbf{n}\text{\hspace{1em}(3.8)}$$

其中 ${\mathbf{q}}_{\mathbf{k}}$ 是变换矩阵 $\mathbf{Q}$ 的第 $k$ 行， ${\mathbf{h}}_{\mathbf{i}}$ 是信道矩阵 $\mathbf{H}$ 的第 $k$ 列，则接收符号 $x_k$ 的信干噪比 SINR 可以写成：

$$SIN{R}_k=\frac{|{\mathbf{q}}_{\mathbf{k}}{\mathbf{h}}_{\mathbf{k}}{|}^2|x_k{|}^2}{{\sum }_{i=1,i\ne k}^{N_t}|{\mathbf{q}}_{\mathbf{k}}{\mathbf{h}}_{\mathbf{i}}{|}^2|x_i{|}^2+||{\mathbf{q}}_{\mathbf{k}}|{|}^2{\sigma }^2}\text{\hspace{1em}(3.9)}$$

MF、ZF、MMSE 检测算法都满足式 $(3.9)$ ，ZF 检测算法因为完全消除了干扰所以其 SINR 在 $(3.9)$ 的基础上做了简化， 如式 $(3.5)$ 所示。

SINR进一步简化

破零算法信噪比简化

我们知道破零算法的均衡矩阵$W=(H^{H}H{)}^{-1}{H}^H$，所以均衡后的 $\hat{X}$为：
$$\begin{array}{rl}\hat{X}& =(H^{H}H{)}^{-1}{H}^H(HX+N)\\ & =(H^{H}H{)}^{-1}{H}^{H}HX+(H^{H}H{)}^{-1}{H}^{H}N\\ & =X+\hat{N}\end{array}$$
其中$\hat{N}=(H^{H}H{)}^{-1}{H}^{H}N$表示均衡后的噪声列向量。

由于破零算法没有流间信号干扰因此，信干比SINR就是信噪比SNR。
E { N ^ N ^ H } l l = E [ ( H H H ) − 1 H H N ( ( H H H ) − 1 H H N ) H ] l l = E [ ( H H H ) − 1 H H N N H H ( H H H ) − 1 ] l l = [ ( H H H ) − 1 H H E { N N H } H ( H H H ) − 1 ] l l = [ σ 2 ( H H H ) − 1 H H H ( H H H ) − 1 ] l l = σ 2 [ ( H H H ) − 1 ] l l \begin{aligned} E\{\hat{N}\hat{N}^H\}_{ll}&=E[(H^HH)^{-1}H^HN((H^HH)^{-1}H^HN)^H]_{ll}\\ &=E[(H^HH)^{-1}H^HNN^HH(H^HH)^{-1}]_{ll}\\ &=[(H^HH)^{-1}H^HE\{NN^H\}H(H^HH)^{-1}]_{ll}\\ &=[\sigma^2(H^HH)^{-1}H^HH(H^HH)^{-1}]_{ll}\\ &=\sigma^2[(H^HH)^{-1}]_{ll} \end{aligned} E{N^N^H}ll​​=E[(HHH)−1HHN((HHH)−1HHN)H]ll​=E[(HHH)−1HHNNHH(HHH)−1]ll​=[(HHH)−1HHE{NNH}H(HHH)−1]ll​=[σ2(HHH)−1HHH(HHH)−1]ll​=σ2[(HHH)−1]ll​​
由此可得$\mathbf{SN}{\mathbf{R}}_{\mathbf{ZF}}=\frac{1}{{\sigma }^2[({\mathbf{H}}^{\mathbf{H}}\mathbf{H}{)}^{-1}{]}_{\mathbf{ll}}}$

MMSE 均衡后的简化SINR

我们知道MMSE均衡算法的$\mathbf{W}为：$
$$\begin{array}{r}\mathbf{W}=({\mathbf{H}}^{\mathbf{H}}\mathbf{H}+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}{\mathbf{H}}^{\mathbf{H}}\end{array}$$
则估计得到的信号 $\hat{X}$为：
$$\begin{array}{rl}\hat{\mathbf{X}}& =\mathbf{WY}=({\mathbf{H}}^{\mathbf{H}}\mathbf{H}+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}{\mathbf{H}}^{\mathbf{H}}(\mathbf{HX}+\mathbf{N})\\ & =({\mathbf{H}}^{\mathbf{H}}\mathbf{H}+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}{\mathbf{H}}^{\mathbf{H}}\mathbf{HX}+({\mathbf{H}}^{\mathbf{H}}\mathbf{H}+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}{\mathbf{H}}^{\mathbf{H}}\mathbf{N}\end{array}$$

噪声能量

MMSE 最终没有完全消除流间干扰。所以MMSE均衡后的信干比包含了流间干扰和噪声。
E { N ^ N ^ H } = E { ( ( H H H + σ 2 I ) − 1 H H N ) ( ( H H H + σ 2 I ) − 1 H H N ) H } = E { ( H H H + σ 2 I ) − 1 H H N N H H ( H H H + σ 2 I ) − 1 } = σ 2 ( H H H + σ 2 I ) − 1 H H H ( H H H + σ 2 I ) − 1 \begin{aligned} E\{\hat{N}\hat{N}^H\}&=E\{((H^HH+\sigma^2I)^{-1}H^HN)((H^HH+\sigma^2I)^{-1}H^HN)^H\}\\ &=E\{(H^HH+\sigma^2I)^{-1}H^HNN^HH(H^HH+\sigma^2I)^{-1}\}\\ &=\sigma^2(H^HH+\sigma^2I)^{-1}H^HH(H^HH+\sigma^2I)^{-1} \end{aligned} E{N^N^H}​=E{((HHH+σ2I)−1HHN)((HHH+σ2I)−1HHN)H}=E{(HHH+σ2I)−1HHNNHH(HHH+σ2I)−1}=σ2(HHH+σ2I)−1HHH(HHH+σ2I)−1​
$H^{H}H$为共轭对称矩阵,进行特征分解$H^{H}H=Q^H\Lambda Q$其中Q为酉矩阵即$Q^{H}Q=I$带入噪声协方差矩阵：
E { N ^ N ^ H } = σ 2 ( Q H Λ Q + σ 2 I ) − 1 Q H Λ Q ( Q H Λ Q + σ 2 I ) − 1 = σ 2 Q H ( Λ + σ 2 I ) Q Q H Λ Q Q H ( Λ + σ 2 I ) − 1 Q = σ 2 Q H ( Λ + σ 2 I ) Λ ( Λ + σ 2 I ) − 1 Q \begin{aligned} E\{\hat{N}\hat{N}^H\}&=\sigma^2(Q^H\Lambda Q+\sigma^2I)^{-1}Q^H\Lambda Q(Q^H\Lambda Q+\sigma^2I)^{-1}\\ &=\sigma^2Q^H(\Lambda+\sigma^2I)QQ^H\Lambda QQ^H(\Lambda+\sigma^2I)^{-1}Q\\ &=\sigma^2Q^H(\Lambda+\sigma^2I)\Lambda(\Lambda+\sigma^2I)^{-1}Q \end{aligned} E{N^N^H}​=σ2(QHΛQ+σ2I)−1QHΛQ(QHΛQ+σ2I)−1=σ2QH(Λ+σ2I)QQHΛQQH(Λ+σ2I)−1Q=σ2QH(Λ+σ2I)Λ(Λ+σ2I)−1Q​
令$Q=[q_1,q_2,q_3,\cdots ,q_l,\cdots ]$,其中$q_l$是其第$l$个列向量，则第$l$流噪声功率为噪声协方差矩阵的第$l$列和第$l$行的元素即：
$$\begin{array}{r}{\mathbf{p}}_{\mathbf{noise}}={\sigma }^2{\mathbf{q}}_l^{\mathbf{H}}(\mathbf{\Lambda }+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}\mathbf{\Lambda }(\mathbf{\Lambda }+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}{\mathbf{q}}_l\end{array}$$

信号+干扰能量

R x x = E { ( H H H + σ 2 I ) − 1 H H H X ( ( H H H + σ 2 I ) − 1 H H H X ) H } = E { ( H H H + σ 2 I ) − 1 H H H X X H H H H ( H H H + σ 2 I ) − 1 } = ( H H H + σ 2 I ) − 1 H H H H H H ( H H H + σ 2 I ) − 1 = Q H ( Λ + σ 2 I ) − 1 Q Q H Λ Q Q H Λ Q Q H ( Λ + σ 2 I ) − 1 Q = Q H ( Λ + σ 2 I ) Λ 2 ( Λ + σ 2 I ) − 1 Q \begin{aligned} R_{xx} &= E\{\mathbf{(H^HH+\sigma^2I)^{-1}H^HHX((H^HH+\sigma^2I)^{-1}H^HHX)^H}\}\\ &=E\{\mathbf{(H^HH+\sigma^2I)^{-1}H^HHXX^HH^HH(H^HH+\sigma^2I)^{-1}}\}\\ &=\mathbf{(H^HH+\sigma^2I)^{-1}H^HHH^HH(H^HH+\sigma^2I)^{-1}}\\ &=\mathbf{Q^H(\Lambda+\sigma^2I)^{-1}QQ^H\Lambda QQ^H\Lambda QQ^H(\Lambda+\sigma^2I)^{-1}Q}\\ &=\mathbf{Q^H(\Lambda+\sigma^2I)\Lambda^2(\Lambda+\sigma^2I)^{-1}Q} \end{aligned} Rxx​​=E{(HHH+σ2I)−1HHHX((HHH+σ2I)−1HHHX)H}=E{(HHH+σ2I)−1HHHXXHHHH(HHH+σ2I)−1}=(HHH+σ2I)−1HHHHHH(HHH+σ2I)−1=QH(Λ+σ2I)−1QQHΛQQHΛQQH(Λ+σ2I)−1Q=QH(Λ+σ2I)Λ2(Λ+σ2I)−1Q​
协方差矩阵的第$l$行第$l$列即为噪声+干扰的总功率即：
$p_{(inter+signal)}={\mathbf{q}}_l^{\mathbf{H}}(\mathbf{\Lambda }+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}{\mathbf{\Lambda }}^2(\mathbf{\Lambda }+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}{\mathbf{q}}_l$

信号功率

信号$X$的系数为：
$$\begin{array}{rl}G& =({\mathbf{H}}^{\mathbf{H}}\mathbf{H}+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}{\mathbf{H}}^{\mathbf{H}}\mathbf{H}={\mathbf{Q}}^{\mathbf{H}}(\mathbf{\Lambda }+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}\mathbf{Q}{\mathbf{Q}}^{\mathbf{H}}\mathbf{\Lambda Q}\\ & ={\mathbf{Q}}^{\mathbf{H}}(\mathbf{\Lambda }+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}\mathbf{\Lambda Q}\end{array}$$
上面第$l$行即为信号系数所以
$$X_l={\mathbf{q}}_l^{\mathbf{H}}(\mathbf{\Lambda }+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}\mathbf{\Lambda }{\mathbf{q}}_l$$
所以信号能量为：
$$\begin{array}{r}{p}_{signal}={\mathbf{q}}_l^{\mathbf{H}}(\mathbf{\Lambda }+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}\mathbf{\Lambda }{\mathbf{q}}_l{\mathbf{q}}_{\mathbf{l}}^{\mathbf{H}}\mathbf{\Lambda }(\mathbf{\Lambda }+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}{\mathbf{q}}_l\end{array}$$

干扰信号功率

$$\begin{array}{rl}{p}_{inter}& =p_{(inter+signal)}-p_{signal}\\ & ={\mathbf{q}}_l^{\mathbf{H}}(\mathbf{\Lambda }+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}{\mathbf{\Lambda }}^2(\mathbf{\Lambda }+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}{\mathbf{q}}_l-{\mathbf{q}}_l^{\mathbf{H}}(\mathbf{\Lambda }+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}\mathbf{\Lambda }{\mathbf{q}}_l{\mathbf{q}}_{\mathbf{l}}^{\mathbf{H}}\mathbf{\Lambda }(\mathbf{\Lambda }+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}{\mathbf{q}}_l\\ & ={\mathbf{q}}_l^{\mathbf{H}}(\mathbf{\Lambda }+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}\mathbf{\Lambda }(\mathbf{I}-{\mathbf{q}}_l{\mathbf{q}}_l^{\mathbf{H}})\mathbf{\Lambda }(\mathbf{\Lambda }+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}{\mathbf{q}}_l\end{array}$$

干扰+噪声功率

$$\begin{array}{rl}{p}_{inter}+p_{noise}& ={\sigma }^2{\mathbf{q}}_l^{\mathbf{H}}(\mathbf{\Lambda }+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}\mathbf{\Lambda }(\mathbf{\Lambda }+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}{\mathbf{q}}_l+{\mathbf{q}}_l^{\mathbf{H}}(\mathbf{\Lambda }+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}\mathbf{\Lambda }(\mathbf{I}-{\mathbf{q}}_l{\mathbf{q}}_l^{\mathbf{H}})\mathbf{\Lambda }(\mathbf{\Lambda }+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}{\mathbf{q}}_l\\ & ={\mathbf{q}}_l^{\mathbf{H}}(\mathbf{\Lambda }+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}({\sigma }^2\mathbf{\Lambda }+{\mathbf{\Lambda }}^2-\mathbf{\Lambda }{\mathbf{q}}_l{\mathbf{q}}_l^{\mathbf{H}}\mathbf{\Lambda })(\mathbf{\Lambda }+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}{\mathbf{q}}_l\\ & =q_l^H(\Lambda +{\sigma }^{2}I{)}^{-1}({\sigma }^{2}I+\Lambda )\Lambda (\Lambda +{\sigma }^{2}I{)}^{-1}{q}_l-q_l^H(\Lambda +{\sigma }^{2}I{)}^{-1}\Lambda q_l{q}_l^H\Lambda (\Lambda +{\sigma }^{2}I{)}^{-1}{q}_l\\ & =q_l^H(\Lambda +{\sigma }^{2}I{)}^{-1}\Lambda q_l-q_l^H(\Lambda +{\sigma }^{2}I{)}^{-1}\Lambda q_l{q}_l^H\Lambda (\Lambda +{\sigma }^{2}I{)}^{-1}{q}_l\end{array}$$

MMSE SINR

$$\begin{array}{rl}SIN{R}_{MMSE}& =\frac{p_{signal}}{p_{inter}+p_{noise}}\\ & =\frac{{\mathbf{q}}_l^{\mathbf{H}}(\mathbf{\Lambda }+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}\mathbf{\Lambda }{\mathbf{q}}_l{\mathbf{q}}_{\mathbf{l}}^{\mathbf{H}}\mathbf{\Lambda }(\mathbf{\Lambda }+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}{\mathbf{q}}_l}{{\mathbf{q}}_l^{\mathbf{H}}(\mathbf{\Lambda }+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}\mathbf{\Lambda }{\mathbf{q}}_l-{\mathbf{q}}_l^{\mathbf{H}}(\mathbf{\Lambda }+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}\mathbf{\Lambda }{\mathbf{q}}_l{\mathbf{q}}_l^{\mathbf{H}}\mathbf{\Lambda }(\mathbf{\Lambda }+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}{\mathbf{q}}_l}\end{array}$$
又 ${\mathbf{q}}_l^{\mathbf{H}}(\mathbf{\Lambda }+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}\mathbf{\Lambda }{\mathbf{q}}_l$为标量上下同除：
$$\begin{array}{rl}SIN{R}_{MMSE}& =\frac{p_{signal}}{p_{inter}+p_{noise}}\\ & =\frac{{\mathbf{q}}_{\mathbf{l}}^{\mathbf{H}}\mathbf{\Lambda }(\mathbf{\Lambda }+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}{\mathbf{q}}_l}{1-{\mathbf{q}}_{\mathbf{l}}^{\mathbf{H}}\mathbf{\Lambda }(\mathbf{\Lambda }+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}{\mathbf{q}}_l}\\ & =\frac{1}{1-{\mathbf{q}}_{\mathbf{l}}^{\mathbf{H}}\mathbf{\Lambda }(\mathbf{\Lambda }+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}{\mathbf{q}}_l}-1\end{array}$$
根据woodbury求逆公式(这个很多推到都用到过)
$(\mathbf{A}+\mathbf{UBV}{)}^{-1}={\mathbf{A}}^{-1}-{\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{U}(\mathbf{I}+\mathbf{BV}{\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{U}{)}^{-1}\mathbf{BV}{\mathbf{A}}^{-1}$
令$(\mathbf{\Lambda }+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}中\mathbf{A}=\mathbf{\Lambda },\mathbf{U}={\sigma }^2\mathbf{I},\mathbf{B}=\mathbf{I},\mathbf{V}=\mathbf{I}则：$
$$\begin{array}{rl}(\mathbf{\Lambda }+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}& ={\mathbf{\Lambda }}^{-1}-{\mathbf{\Lambda }}^{-1}{\sigma }^2\mathbf{I}(\mathbf{I}+\mathbf{I}\ast \mathbf{I}{\mathbf{\Lambda }}^{-1}{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}\mathbf{I}\ast \mathbf{I}{\mathbf{\Lambda }}^{-1}\\ & ={\mathbf{\Lambda }}^{-1}-{\sigma }^2{\mathbf{\Lambda }}^{-1}(\mathbf{I}+{\mathbf{\Lambda }}^{-1}{\sigma }^2{)}^{-1}{\mathbf{\Lambda }}^{-1}\\ q_l^H\Lambda (\Lambda +{\sigma }^{2}I{)}^{-1}{q}_l& =q_l^H\Lambda ({\mathbf{\Lambda }}^{-1}-{\sigma }^2{\mathbf{\Lambda }}^{-1}(\mathbf{I}+{\mathbf{\Lambda }}^{-1}{\sigma }^2{)}^{-1}{\mathbf{\Lambda }}^{-1})q_l\\ & =q_l^H(1-{\sigma }^2(I+{\sigma }^2{\Lambda }^{-1}{)}^{-1}{\Lambda }^{-1}{q}_l\\ & ={\mathbf{q}}_l^{\mathbf{H}}(1-{\sigma }^2(\mathbf{\Lambda }+{\sigma }^2\mathbf{I})){\mathbf{q}}_{\mathbf{l}}\\ & =1-{\mathbf{q}}_l^{\mathbf{H}}{\sigma }^2(\mathbf{\Lambda }+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}{\mathbf{q}}_{\mathbf{l}}\\ & =1-{\sigma }^2{\mathbf{q}}_l^{\mathbf{H}}(\mathbf{\Lambda }+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}{\mathbf{q}}_{\mathbf{l}}\\ & =1-{\sigma }^2[{\mathbf{Q}}^{\mathbf{H}}(\mathbf{\Lambda }+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}\mathbf{Q}{]}_{\mathbf{ll}}\\ & =1-{\sigma }^2[({\mathbf{Q}}^{\mathbf{H}}\mathbf{\Lambda Q}+{\sigma }^2\mathbf{I}){]}_{\mathbf{ll}}\\ & =1-{\sigma }^2[({\mathbf{H}}^{\mathbf{H}}\mathbf{H}+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}{]}_{\mathbf{ll}}\end{array}$$
所以：
$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}SIN{R}_{MMSE}& =\frac{p_{signal}}{p_{inter}+p_{noise}}\\ & =\frac{1}{1-1+{\sigma }^2[({\mathbf{H}}^{\mathbf{H}}\mathbf{H}+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}{]}_{\mathbf{ll}} \\ }-1\\ & =\frac{1}{{\sigma }^2[({\mathbf{H}}^{\mathbf{H}}\mathbf{H}+{\sigma }^2\mathbf{I}{)}^{-1}{]}_{\mathbf{ll}} \\ }-1\\ & =\frac{\mathbf{snr}}{[({\mathbf{H}}^{\mathbf{H}}\mathbf{H}+\frac{1}{\mathbf{snr}}\mathbf{I}{)}^{-1}{]}_{\mathbf{ll}} \\ }-1\end{array} \end{gathered}$$
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