高等数学 | 第八章-向量值函数的积分与场论

一、定向曲线积分

动点沿着曲线连续移动时，就形成了曲线的走向. 一条曲线一般有两种走向，如果规定其中一种为正向，那么另外一条就是反向. 我们可以使用$\Gamma =\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}$表示定向曲线弧段，其中$A$是起点 $B$是终点，其反向曲线可以记为${\Gamma }^{-}$. 定向曲线$\Gamma =\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}$的参数方程形式表示为$\{\begin{array}{r}x=x(t),\\ y=y(t),\\ z=z(t),\end{array}t:\alpha \to \beta$，由于$\alpha$、$\beta$是与起点、终点一一对应的，所以$\alpha$未必小于$\beta$. 该参数方程也可以表示为向量形式：$\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}(t)=x(t)\overrightarrow{i}+y(t)\overrightarrow{j}+z(t)\overrightarrow{k},t:\alpha \to \beta$，其中$\overrightarrow{r}(t)$表示$\Gamma$上对应参数 $t$的一点的向径. 规定：定向光滑曲线上各点处的切向量的方向总是与曲线的走向一致.

如果参数$t$从小变大确定了定向曲线$\Gamma$的走向，那么$\Gamma$切向量可表示为$\overrightarrow{\tau }={\lim }_{\Delta t\to 0}(\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t},\frac{y(t+\Delta t)-y(t)}{\Delta t},\frac{z(t+\Delta t)-z(t)}{\Delta t})=(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t),z^{\prime }(t))$，反之则添加一个负号.

定义：设$L$为$xOy$面内具有有限长度的定向光滑曲线，向量值函数$\overrightarrow{F}(x,y)=P(x,y)\overrightarrow{i}+Q(x,y)\overrightarrow{j}$在$L$上有界，定义向量值函数$\overrightarrow{F}(x,y)$在$L$上的曲线积分为${\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy={\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{i=1}^n[P({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta x_i+Q({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta y_i]$，也可以用向量表示为${\int }_L\overrightarrow{F}(x,y)\cdot d\overrightarrow{r}$，其中$d\overrightarrow{r}$称为定向弧元素.

向量值函数的曲线积分也称为第二类曲线积分、对坐标的曲线积分，具有如下性质与算法：
$$\begin{array}{cc}\text{计算性质}& \text{数学表达}\\ 1.线性性质& {\int }_L[a\overrightarrow{F}(x,y)+b\overrightarrow{G}(x,y)]\cdot d\overrightarrow{r}=a{\int }_L\overrightarrow{F}(x,y)\cdot d\overrightarrow{r}+B{\int }_L\overrightarrow{G}(x,y)\cdot d\overrightarrow{r}\\ 2.有向曲线弧段可加性& {\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy={\int }_{L_1}P(x,y)dx+Q(x,y)dy+{\int }_{L_2}P(x,y)dx+Q(x,y)dy，其中有向弧段L可以分成光滑的有向弧段L_1和L_2，且走向一致\\ 3.曲线反向，积分互为相反数& {\int }_{L^{-}}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=-{\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy\end{array}$$
$$\begin{array}{cc}\text{计算方法}& \text{具体适用场景}\\ 1.代入法& 被积函数在光滑或分段光滑L上连续\\ 2.路径无关法& 满足三条件后（G是单连通区域）：1.按简单路径如同向坐标线积分；2.按曲线积分定理\\ 3.格林公式法& 满足三条件后（1.D是单、复连通；2.公式对\partial D^{+}成立）：情形1：直接用；情形2：补线用（以简单路径补成闭域）；情形3：挖洞用（以简单路径挖去奇点构成复连通闭域）\end{array}$$

1.定向曲线积分

代入法

若向量值函数$\overrightarrow{F}(x,y)=P(x,y)\overrightarrow{i}+Q(x,y)\overrightarrow{j}$可以使用参数方程$\{\begin{array}{r}x=x(t),\\ y=y(t),\end{array}t:\alpha \to \beta$表示，其中$x(t)$、$y(t)$的一阶导数连续，则有 ∫ L P ( x , y ) i → + Q ( x , y ) j → = ∫ α β { P [ x ( t ) , y ( t ) ] x ′ ( t ) + Q [ x ( t ) , y ( t ) ] y ′ ( t ) } d t \int_L P(x,y)\overrightarrow{i}+Q(x,y)\overrightarrow{j} = \int_{\alpha}^{\beta} \{P[x(t),y(t)]x'(t)+Q[x(t),y(t)]y'(t)\}dt ∫L​P(x,y)i +Q(x,y)j ​=∫αβ​{P[x(t),y(t)]x′(t)+Q[x(t),y(t)]y′(t)}dt，其中$\alpha$对应$L$的起点，$\beta$对应$L$的终点. 对于曲线的其他形式，若能表示为显函数形式，则同样适用. 该替换方法可以推广到更多元向量值函数的曲线积分上面.

代入法对于能表示成参数方程形式的空间曲线仍适用.

路径无关法

设$G$是平面上的单连通区域，$\overrightarrow{F}(x,y)=P(x,y)\overrightarrow{i}+Q(x,y)\overrightarrow{j}$在$G$内具有连续偏导数，那么以下四个条件等价：

(1)对$G$中任意光滑闭曲线$L$，有${\oint }_{L}Pdx+Qdy=0$；
(2)对$G$中任意光滑或分段光滑曲线$L$，曲线积分${\int }_{L}Pdx+Qdy$与路径无关，只与起止点有关；
(3)$Pdx+Qdy$在$G$内是某一函数$u(x,y)$的全微分，即$du(x,y)=Pdx+Qdy$；
(4)在$G$内每一点都满足$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$

对于所给的某一个向量值函数曲线积分，若想使用路径无关法，应首先识别出$P$、$Q$，求出$\frac{\partial P}{\partial y}$和$\frac{\partial Q}{\partial x}$并确认二者是否相等，然后判断是否存在单连通区域$G$使被积函数的偏导连续，同时满足以上条件，则可以使用路径无关法.

对于路径无关的曲线积分，我们可以采取两种方式简化计算：

(1)改变积分路径使其简化，通常选择改为分段沿坐标轴或平行于坐标轴的有向线段积分，使$x$、$y$中的某一个为常数，$dx$、$dy$中的某项为0；
(2)根据四个等价条件的第三条（即曲线积分定理），凑某个函数的微分，得到积分结果为积分终点函数值与积分起点函数值的差.

补充知识：微积分基本定理

曲线积分基本定理：
设$\Gamma =\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}$是一条光滑或分段光滑的定向曲线，函数$f(x,y,z)$在$\Gamma$上偏导数连续，则${\int }_{\Gamma }\nabla f\cdot d\overrightarrow{r}=f(B)-f(A)$

格林公式法

定理：设$D$是$xOy$平面上的有界闭区域，其边界曲线$\partial D$由有限条光滑或者分段光滑的曲线所组成，如果函数$P(x,y)$、$Q(x,y)$在$D$上具有一阶连续偏导数，那么有：
${\iint }_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})d\sigma ={\oint }_{\partial D^{+}}P(x,y)dx+Q(x,y)dy$

我们规定正向曲线应使被包围的区域在其前进方向的左侧，包括单连通区域和复连通区域. 格林公式告诉我们，满足前提条件，对于一个向量值函数在有向闭合曲线上的积分，可以转化为在其所包围的区域上的二重积分.

我们通常有三种情形使用格林公式：

(1)直接使用；
(2)补线使用，对于一条非闭合的积分路径，可以构造一条简单路径（如平行坐标轴）使其补成闭域应用格林公式，再单独计算简单路径上的积分；
(3)挖洞使用，若闭合曲线内含有偏导不存在的奇点，我们可以使用简单路径挖去奇点构造复连通区域再使用格林公式，再单独计算简单路径上的积分.