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计算机图形学：（四）欧拉角与四元数

news 2025/6/7 13:55:39

# 导语

在计算机图形学的学习中，几何变换（Transformations）是一块重要的内容，我们使用齐次坐标描述点和向量，使用变换矩阵描述平移、旋转等变换。而在平移、旋转、缩放这几种变换中，又以旋转的情况最为复杂。实际上，计算机图形学中三维空间的旋转不仅仅有旋转矩阵一种表达形式，欧拉角（Euler angles）和四元数（Quaternions）也是常用的方法。

# 旋转矩阵

这里再复习一下在计算机图形学：（一）基础中提到的旋转矩阵，假设绕XYZ三个轴旋转的角度分别为 α,β,γ ，则这三次旋转的旋转矩阵计算方法如下：

最终的旋转矩阵为：

# 欧拉角

旋转矩阵表面上看起来依赖于 9 个参数，实际上只有三个是独立的。为了更直接地指出这三个独立参数，欧拉（Euler）证明了如下事实：任何一个旋转都可以由连续施行的三次绕轴旋转来实现，这三次绕轴旋转的旋转角（α,β,γ ）就是三个独立参数，称为欧拉角。

欧拉角，这一数学概念，是描述物体在三维空间中绕坐标系三个轴（x, y, z轴）的旋转角度。它将方位（角位移）分解为绕这三个互相垂直轴的旋转，且这种分解具有任意性，即任意三个轴和旋转顺序都可以组成一个有效的欧拉角。

🎈注：不同软件/引擎的默认坐标系不同，Heading（Yaw）通常指绕垂直轴的旋转（即取决于坐标系是Y-up还是Z-up）。如在Z-up系统中，heading-pitch-roll即为绕ZYX旋转；在GLM库中，eulerAngleYXZ()函数与yawPitchRoll()函数结果一致 [链接]。

不同的旋转顺序会导致旋转结果不同，因此需要按照特定的旋转顺序进行欧拉角的计算和使用。在不考虑使用两种不同的约定来定义旋转(内旋或外旋，注：在后文再提及)的可能性下，存在12种可能得旋转轴序列，分为两组：

（一）Proper Euler angles：也称为真欧拉角或者经典欧拉角。经典欧拉角中第一旋转轴和第三旋转轴是相同的，共有6种可能序列：

（二）Tait–Bryan angles：也称为泰特-布莱恩角，万向角，航海角度，或者直接描述三个角(航向，海拔和高度或者偏航，俯仰和滚动) 。泰特-布莱恩角中三个角分别绕三个不同的轴转动，共有6种可能得序列：

在实际使用中，为了简单起见，广泛采用“heading-pitch-roll”约定（注：heading有时也用yaw表示），它让物体从“标准”方位开始旋转，即物体坐标轴与惯性坐标系原点对齐。这种旋转顺序能通过依次作heading、pitch和roll旋转，使物体到达我们想要描述的方位。

欧拉角可分为两种情况：①静态欧拉角（又称为外旋欧拉角）和②动态欧拉角（又称为内旋欧拉角）。

静态欧拉角

静态欧拉角是指物体绕世界坐标系三个轴的旋转，在这种情况下物体坐标轴保持静止。

若按X-Y-Z旋转顺序（指先绕固定轴X，再绕固定轴Y，最后绕固定轴Z），可得旋转矩阵：

动态欧拉角

动态欧拉角则是指物体在自身坐标系中的旋转，这种旋转的复杂之处在于其坐标轴会随物体一起转动。

若按Z-Y-X旋转顺序（指先绕自身轴Z，再绕自身轴Y，最后绕自身轴X），可得旋转矩阵：

看到这里时泛起了迷糊，其他教程里以一句“外旋是左乘，内旋是右乘”草草带过，那么为什么是这样呢？

这里来推导一下。首先，因为已经假设了物体自身轴对齐世界轴，所以绕物体X轴等价于绕世界的X旋转。若旋转顺序是XYZ，绕自身Y旋转的时候，已经存在X旋转了，已经被X轴的旋转影响到了。那么为了得到绕Y的旋转矩阵，我们先撤销绕自身X轴的旋转，进行Y旋转，再恢复X轴旋转。同理，为了得到绕Z的旋转矩阵，需要撤销Y轴旋转，再撤销X轴旋转，再进行Z轴旋转，再恢复X、Y轴旋转 [链接]。

则内旋转最终表示为：

那么若旋转顺序是ZYX，同理可得到：

明白这点后，回到推导前，可以看到 $R_1=R_2$ 。这个结论说明Z-Y-X顺序的内旋等价于X-Y-Z顺序的外旋。任何的外旋都等于角度相同但元素旋转顺序相反的内旋，反之亦然。

用图片演示一下，最终下面两图表示了相同的旋转结果：

内旋动画版（① 物体绕 $Z_{0}$ 轴旋转 α 角度，旋转后得到 $X_{1}Y_{1}Z_{0}$ ；② 物体绕 $X_{1}$ 轴旋转 β 角度，旋转后得到 $X_{1}Y_{2}Z_{2}$ ；③ 物体绕 $Z_{2}$ 轴旋转 γ 角度，旋转后得到 $X_{3}Y_{3}Z_{2}$ ）：