有限时间 vs 固定时间 vs 预定时间滑模：稳定性分析与仿真验证方法对比（中）

四、有限时间滑模控制（Finite-Time Sliding Mode Control, FTSMC）

4.1、定义

有限时间收敛相较于渐进收敛其要求要更加严格，简单来说，假设存在一个连续可微的正定函数 $V(x):\mathcal{D}\to \mathbb{R}$，且对任意实数 $c>0$ 和 $\alpha \in (0,1)$，以下不等式成立：
V ˙ ( x ) + c V α ( x ) ≤ 0 , x ∈ N ∖ { 0 } (4.1) \dot{V}(x) + cV^\alpha(x) \leq 0, \, x \in \mathcal{N} \setminus \{0\} \tag{4.1} V˙(x)+cVα(x)≤0,x∈N∖{0}(4.1)
则原点是系统 (4.1) 的有限时间稳定平衡点，且收敛时间满足：
$$T(x_0)\le \frac{1}{c(1-\alpha )}{V}^{1-\alpha }(x_0)\text{\hspace{1em}(4.2)}$$
进一步，若 $\mathcal{N}=\mathcal{D}={\mathbb{R}}^{\ell }$、$V(x)$ 径向无界且 $\dot{V}<0$ 在 R ℓ ∖ { 0 } \mathbb{R}^\ell \setminus \{0\} Rℓ∖{0} 上成立，则原点是全局有限时间稳定平衡点。

4.2、示例

这次针对的系统还不变，但是有限时间收敛需要定义滑模面：
$$s=x_2+\beta x_1^{q/p}$$
其中 $\beta >0$ ，$p$ 和 $q$ 是正奇数，且 $q<p$ 。根据滑模面就可以设计控制律为：
$$u=-x_1^2-x_2-\beta \frac{q}{p}{x}_1^{q/p-1}{x}_2-k\cdot sign(s)$$

这样其实是存在奇异性问题的，由于 $q/p-1<0$ ，那么当 $x_1=0$ 时，$u$ 不存在，因为分母为0

虽然在工程上只需要屏蔽这个点，但是在理论上这里还是有点小问题…当然也可以用非奇异的滑模去解决这个问题

下面证明他是有限时间收敛的，首先证明 $s$ 会在有限时间内收敛到原点，设 $V_1(s)=\frac{1}{2}{s}^2$
$$\begin{array}{rl}{\dot{V}}_1(s)& =s\dot{s}\\ & =s({\dot{x}}_2+\beta \frac{q}{p}{x}_1^{q/p-1}{x}_2)\\ & =s(x_1^2+x_2+u+\beta \frac{q}{p}{x}_1^{q/p-1}{x}_2)\\ & =s(-k\cdot sign(s))\\ & =-k|s|\\ & =-k(s^2{)}^{\frac{1}{2}}\\ & =-k(2V_1(s){)}^{\frac{1}{2}}\\ & \le -k{V}_1(s{)}^{\frac{1}{2}}\end{array}\text{\hspace{1em}(4.3)}$$
所以根据 4.1 的定义滑模面是可以在有限时间内收敛到原点的。接着我们证明滑模面为 0 时，状态可以收敛到原点；首先在滑模面 $s=0$ 时，$x_2=-\beta x_1^{q/p}$，可以发现 $x_2$ 的动态特性完全由 $x_1$ 决定，所以只需要 $x_1$ 在原点，$x_2$ 就在原点，那么设李雅普诺夫函数为 $V_2(x_1)=\frac{1}{2}{x}_1^2$
$$\begin{array}{rl}{\dot{V}}_2(x_1)& =x_1{x}_2\\ & =x_1(-\beta x_1^{q/p})\\ & =-\beta x_1^{q/p+1}\\ & =-\beta (2V_2{)}^{(1+q/p)/2}\end{array}\text{\hspace{1em}(4.4)}$$
根据 4.2 可以证得，$x_1$ 将在有限时间内收敛到原点，由于 $x_2=-\beta x_1^{q/p}$，$x_2$ 也可以在有限时间内收敛到原点。

可以发现一个问题，有限时间收敛的收敛时间上限是一个与初始状态相关的值，这并不利于对收敛时间的准确控制。

4.2.1、代码：

x_1 = zeros(1, 1e5);
x_2 = zeros(1, 1e5);
u   = zeros(1, 1e5);
s   = zeros(1, 1e5);% 初始化
x_1(1, 1) = 100;
x_2(1, 1) = -10;
dt        = 1e-3;for i = 1:(1e5-1)% 计算控制量s(1,i) = x_2(1,i)+2.*x_1(1,i).^(7./9);u(1,i) = - x_1(1,i).^2 - x_2(1,i) - 14./9.*x_1(1,i).^(-2./9).*x_2(1,i) - 2.*sign(s(1,i));% 计算微分dx_1 = x_2(1,i);dx_2 = x_1(1,i)^2 + x_2(1,i) + u(1,i);% 更新状态量，为了简单直接采用欧拉法x_1(1, i+1) = x_1(1, i) + dx_1 .* dt;x_2(1, i+1) = x_2(1, i) + dx_2 .* dt;
end

4.2.2、绘图：

非奇异的有限时间滑模面有很多的定义，其证明形式是一样的：
$$\begin{array}{rlr}s& =x_2+\beta \lceil x_1{\rfloor }^{\gamma }& \gamma \in (0,1);\\ s& =x_2+\alpha x_1+\beta \lceil x_1{\rfloor }^{\gamma }& \gamma \in (0,1);\end{array}$$
$\alpha$ 和 $\beta$ 是正数

五、固定时间滑模控制（Fixed-Time Sliding Mode Control, FixTSMC）

5.1、定义

考虑以下非线性系统：
$$\dot{x}(t)=F(x(t)),x(0)=x_0\text{\hspace{1em}(5.1)}$$
其中，$x(t)\in {\mathbb{R}}^n$，$F(x(t))$ 为连续函数，且满足 $F(x(t)):D\to {\mathbb{R}}^n$，$F(0)=0$，其中 $D$ 为一个开放域。如果系统的稳定时间与初始状态无关，则称上述系统为固定时间收敛系统。例如，若存在常数 $T_0>0$ 使得稳定时间 $T\le T_0$，并且 ${\lim }_{t\to T}|x(t)-x_0|\to 0$ 对所有 $t\ge T$ 成立，则系统满足固定时间收敛特性。

5.1.1、固定时间稳定

针对上述系统，考虑候选李雅普诺夫函数满足如下条件 ：
$$\dot{V}(x)\le -(\alpha V(x{)}^p+\beta V(x{)}^q{)}^{\kappa }\text{\hspace{1em}(5.2)}$$
其中 $\alpha ,\beta ,p,q,\kappa$ 是标量并且满足条件 $p\kappa <1,q\kappa >1,\kappa \in {\mathbb{R}}^{+}$ ，那么李雅普诺夫函数 $V(x)$ 是固定时间稳定的，其稳定时间上界为：
$$T\le \frac{1}{{\alpha }^k(1-\kappa p)}+\frac{1}{{\beta }^k(\kappa q-1)}\text{\hspace{1em}(5.4)}$$

5.1.2、实际固定时间稳定

针对上述系统，考虑候选李雅普诺夫函数满足如下条件 $V(x)$ ^[1][2]：
$$\dot{V}(x)\le -(\alpha V(x{)}^p+\beta V(x{)}^q{)}^{\kappa }+\Theta \text{\hspace{1em}(5.2)}$$
其中 $\alpha ,\beta ,p,q,\kappa$ 是标量并且满足条件 $p\kappa <1,q\kappa >1,\kappa \in {\mathbb{R}}^{+}$ ，同时 $0<\Theta <\infty$，那么李雅普诺夫函数 $V(x)$ 是固定时间稳定的，并且残差集 $D$ 可以表示为：
$$D=\left\{\underset{t\to T}{\lim }x|V(x)\le \text{min}\left\{{\alpha }^{-\frac{1}{p}}{\left\{\frac{\Theta }{1-{\Xi }^k}\right\}}^{\frac{1}{\kappa p}},{\beta }^{-\frac{1}{q}}{\left\{\frac{\Theta }{1-{\Xi }^k}\right\}}^{\frac{1}{\kappa q}}\right\}\right\}\text{\hspace{1em}(5.3)}$$
其中 $\Xi$ 满足约束 $0<\Xi \le 1$ , 稳定时间 $T$ 的上界为：
$$T\le \frac{1}{{\alpha }^k{\Theta }^k(1-\kappa p)}+\frac{1}{{\beta }^k{\Theta }^k(\kappa q-1)}\text{\hspace{1em}(5.4)}$$

其实在滑模证明中重点关注的还是 5.2 这个形式，构造控制律使得李雅普诺夫函数满足这个形式

固定时间的优势：

• 收敛时间与初始状态无关，适合高动态环境。
• 更强的鲁棒性，抗干扰能力更优。
• 控制信号更平滑，减少抖振。
• 工程应用更可靠，适合安全关键系统。

5.2、示例

这次针对的系统还不变，固定时间时间收敛的滑模面可以定义为：
$$s=x_2+\alpha \lceil x_1{\rfloor }^m+\beta \lceil x_1{\rfloor }^n$$

这里直接给出了非奇异的固定时间滑模面，而非下面这种较为原始的会产生奇异的滑模面
$$s=\alpha x_1^{\frac{p}{q}}+\alpha x_1^{\frac{m}{n}}$$
其中 $\alpha ,\beta$ 为正标量，$p,q,m,n$ 为正奇数，且 $m>n>0$ , $q>p>0$

据此可以设计控制律 $u$ ：
$$u=-x_1^2-x_2-\alpha m|x_1{|}^{m-1}{x}_2-\beta n|x_1{|}^{n-1}{x}_2-k_1|s{|}^p\text{sign}(s)-k_2|s{|}^q\text{sign}(s)$$
其中 $\alpha ,\beta ,k_1,k_2$ 为正标量，$m,p\in (0,1)$，$n,q\in (1,+\infty )$ ，

• $\alpha ,\beta$：调节滑模面收敛速度
• $m,n$：通常取 $m=0.5,n=1.5$
• $k_1,k_2$： 增大可加快收敛，但可能引起抖振
• $p,q$：通常取 $p=0.5,q=1.5$

5.2.2、证明：

首先证明滑模面可以收敛到零，设置李雅普诺夫函数 $V_1(s)=\frac{1}{2}{s}^2$
$$\begin{array}{rl}{\dot{V}}_1(s)& =s\dot{s}\\ & =s\left({\dot{x}}_2+\alpha m|x_1{|}^{m-1}{x}_2+\beta n|x_1{|}^{n-1}{x}_2\right)\\ & =s\left(x_1^2+x_2+\alpha m|x_1{|}^{m-1}{x}_2+\beta n|x_1{|}^{n-1}{x}_2+u\right)\\ & =s\left(-k_1|s{|}^p\text{sign}(s)-k_2|s{|}^q\text{sign}(s)\right)\\ & =-k_1|s{|}^{p+1}-k_2|s{|}^{q+1}\\ & =-k_1(2V_1{)}^{\frac{p+1}{2}}-k_2(2V_1{)}^{\frac{q+1}{2}}\end{array}$$
根据 5.2 可知，$s$ 可以在固定时间内收敛到原点，收敛到原点后 $s=0$ ，当 $s=0$ 时，$x_2=-\alpha \lceil x_1{\rfloor }^m-\beta \lceil x_1{\rfloor }^n$，设置李雅普诺夫函数 $V_2(x_1)=\frac{1}{2}{x}_1^2$
$$\begin{array}{rl}{\dot{V}}_2(x_1)& =x_1{x}_2\\ & =x_1(-\alpha \lceil x_1{\rfloor }^m-\beta \lceil x_1{\rfloor }^n)\\ & =-\alpha |x_1{|}^{m+1}-\beta |x_1{|}^{n+1}\\ & =-\alpha (2V_2{)}^{\frac{m+1}{2}}-\beta (2V_2{)}^{\frac{n+1}{2}}\end{array}$$
由此可知，状态 $x_1$ 可以在固定时间内收敛到原点，$x_1$ 状态到零时，$x_2$ 也同时到零。

5.2.1、代码：

x_1 = zeros(1, 1e5);
x_2 = zeros(1, 1e5);
u   = zeros(1, 1e5);
s   = zeros(1, 1e5);% 初始化
x_1(1, 1) = 100;
x_2(1, 1) = -10;
dt        = 1e-4;for i = 1:(1e5-1)% 计算控制量s(1,i) = x_2(1,i) + abs(x_1(1,i)) .^ 0.5 .* sign(x_1(1,i)) + abs(x_1(1,i)) .^ 1.5 .* sign(x_1(1,i));u(1,i) = - x_1(1,i).^2 - x_2(1,i) - 0.5 .* abs(x_1(1,i)) .^ (-0.5) .* x_2(1,i) -  1.5 .* abs(x_1(1,i)) .^ (0.5) .* x_2(1,i) - abs(s(1,i)) .^ 0.5 .* sign(s(1,i)) - abs(s(1,i)) .^ 1.5 .* sign(s(1,i));u(1,i) = max(min(u(1,i), 1e4), -1e4);% 计算微分dx_1 = x_2(1,i);dx_2 = x_1(1,i)^2 + x_2(1,i) + u(1,i);% 更新状态量，为了简单直接采用欧拉法x_1(1, i+1) = x_1(1, i) + dx_1 .* dt;x_2(1, i+1) = x_2(1, i) + dx_2 .* dt;
end

5.2.2、绘图：