人工智能数学基础实验（二）：奇异值分解（SVD）-图像处理

一、实验目的

1. 掌握奇异值分解（SVD）的原理与方法：理解 SVD 如何将矩阵分解为左奇异矩阵、奇异值矩阵和右奇异矩阵，及其数学意义。
2. 理解 SVD 在图像处理中的应用：重点掌握 SVD 在图像压缩和特征提取中的实际应用，通过调整保留的奇异值数量观察图像质量变化。
3. Python 算法实现能力：学会使用 NumPy 等库实现 SVD 图像处理算法，提升数据处理和可视化能力。

二、实验要求

（一）图像预处理

• 读取彩色图像并转换为 RGB 矩阵（三维数组）。
• 分离图像的 R、G、B 三个颜色通道，分别进行处理。

（二）SVD 分解与重建

• 对每个颜色通道的矩阵进行 SVD 分解，得到左奇异矩阵 U、奇异值向量 S 和右奇异矩阵 。
• 保留前 k 个最大的奇异值，截断其余奇异值及对应矩阵分量。
• 使用截断后的矩阵重建各颜色通道，并合并为完整图像。

（三）结果分析

• 对比原始图像与重建图像，分析保留奇异值数量 k 对图像质量的影响。
• 输出分解矩阵的形状和部分数据（如 R 通道前 5×5 矩阵），验证算法正确性。

三、实验原理

（一）奇异值分解（SVD）基础

（二）图像压缩原理

• 奇异值的大小对应图像特征的重要性：保留前 k 个最大奇异值可近似保留图像的主要信息，舍去较小奇异值实现压缩。
• 压缩比公式：保留比例 = k/原始奇异值数量，数值越小压缩率越高，但图像细节损失越多。

四、实验步骤

（一）环境与库准备

​
import numpy as np  
from PIL import Image  
import matplotlib.pyplot as plt  
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 支持中文显示  ​

（二）核心代码流程

1. 读取图像并转换为矩阵

​
original_image = Image.open("灰度图片3.jpg").convert('RGB')  
img_array = np.array(original_image)  # 形状为 (高度, 宽度, 3)  ​

1. 分离 RGB 通道

​
channels = []  
for i in range(3):  channel = img_array[:, :, i].astype(np.float64)  # 转为浮点型方便计算  channels.append(channel)  ​

1. 对每个通道进行 SVD 分解与重建

​
reconstructed_channels = []  
for channel in channels:  U, S, Vt = np.linalg.svd(channel, full_matrices=False)  # 分解  k = 10  # 保留前k个奇异值  S_k = np.diag(S[:k])  U_k = U[:, :k]  Vt_k = Vt[:k, :]  reconstructed = U_k @ S_k @ Vt_k  # 矩阵相乘重建  reconstructed = np.clip(reconstructed, 0, 255)  # 像素值限制在[0, 255]  reconstructed_channels.append(reconstructed.astype(np.uint8))  ​

1. 合并通道并可视化对比

​
merged = np.stack(reconstructed_channels, axis=2)  
reconstructed_image = Image.fromarray(merged)  plt.figure(figsize=(10, 5))  
plt.subplot(1, 2, 1), plt.imshow(original_image), plt.title("原始图像")  
plt.subplot(1, 2, 2), plt.imshow(reconstructed_image), plt.title(f"重建图像(k={k})")  
plt.show()  ​

（三）参数与数据输出

• 打印矩阵形状（如原始图像尺寸、分解矩阵维度）。
• 输出 R 通道前 5×5 的 U、S、\(V^T\) 矩阵数据，验证分解结果。

完整源代码:

import numpy as np
from PIL import Image
import matplotlib.pyplot as pltplt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']def svd_image_processing(image_path, k):"""使用奇异值分解（SVD）进行图像处理参数：image_path: 输入图片路径k: 保留的奇异值数量（k越大保留信息越多）"""# 读取图像并转换为RGB矩阵original_image = Image.open(image_path).convert('RGB')# 三维数组（高度，宽度，通道）img_array = np.array(original_image)print("读取图像的RGB矩阵:")print(img_array)# 分离RGB三个通道channels = []for i in range(3):# 转换为浮点数便于计算channel = img_array[:, :, i].astype(np.float64)channels.append(channel)# 对每个通道进行SVD分解和重建reconstructed_channels = []U_list, S_list, Vt_list = [], [], []for channel in channels:# 执行奇异值分解U, S, Vt = np.linalg.svd(channel, full_matrices=False)# 存储分解结果U_list.append(U)S_list.append(S)Vt_list.append(Vt)# 保留前k个奇异值# 转换为对角矩阵S_k = np.diag(S[:k])# 取前k列U_k = U[:, :k]# 取前k行Vt_k = Vt[:k, :]# 重建当前通道reconstructed = U_k @ S_k @ Vt_k# 确保像素值在合理范围reconstructed = np.clip(reconstructed, 0, 255)reconstructed_channels.append(reconstructed)# 合并通道并转换为图像merged = np.stack(reconstructed_channels, axis=2).astype(np.uint8)reconstructed_image = Image.fromarray(merged)# 打印矩阵信息print("=== 分解矩阵信息 ===")print(f"原始图像形状：{img_array.shape}")print(f"左奇异矩阵U形状（R通道）：{U_list[0].shape}")print(f"奇异值矩阵S长度（R通道）：{len(S_list[0])}")print(f"右奇异矩阵Vt形状（R通道）：{Vt_list[0].shape}")# 显示部分矩阵数据（R通道）print("\n=== 矩阵示例（R通道前5x5） ===")print("左奇异矩阵U前5行5列：\n", U_list[0][:5, :5].round(2))print("\n奇异值前5个：\n", S_list[0][:5].round(2))print("\n右奇异矩阵Vt前5行5列：\n", Vt_list[0][:5, :5].round(2))# 显示对比图像plt.figure(figsize=(10, 10))plt.subplot(1, 2, 1)plt.imshow(original_image)plt.title(f'原始图像\n尺寸：{img_array.shape}')plt.subplot(1, 2, 2)plt.imshow(reconstructed_image)plt.title(f'重建图像(k={k})\n保留比例：{k / len(S_list[0]):.2%}')plt.tight_layout()plt.show()return reconstructed_image# 使用示例
if __name__ == "__main__":# 图片路径input_image = "灰度图片3.jpg"# 保留的奇异值数量（可自行调整）k_value = 10# 执行处理并显示结果result = svd_image_processing(input_image, k_value)

import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.image as mpimg
import numpy as npdef convert_with_matplotlib(input_path, output_path):img = mpimg.imread(input_path)grayscale = np.dot(img[..., :3], [0.299, 0.587, 0.114])plt.imsave(output_path, grayscale, cmap='gray')
convert_with_matplotlib("演示图片5.jpg","灰度图片3.jpg")

五、实验结果

（一）图像对比分析

保留奇异值 k	保留比例	重建图像效果
(k=50)	2.50%	接近原始图像，细节清晰
(k=30)	1.50%	轻微模糊，主要轮廓保留
(k=10)	0.50%	明显模糊，细节丢失

结论：

• k 越大，重建图像越接近原始图像，验证了 “奇异值越大代表信息越重要” 的原理。
• 通过调整 k 可在图像质量与压缩率之间权衡，适用于不同存储和传输场景。

（二）矩阵分解结果示例（R 通道）

=== 分解矩阵信息 ===  
原始图像形状: (1080, 1920, 3)  
左奇异矩阵U形状: (1080, 1080)  
奇异值矩阵S长度: 1080  
右奇异矩阵Vt形状: (1080, 1920)  === 矩阵示例（R通道前5×5） ===  
左奇异矩阵U前5行5列:  
[[0.01 -0.01 0.02 -0.04 0.03]  [0.02 -0.01 0.02 -0.04 0.03]  [0.02 -0.01 0.02 -0.04 0.03]  [0.02 -0.01 0.02 -0.04 0.03]  [0.03 -0.01 0.02 -0.04 0.03]]  奇异值前5个:  
[331942.60, 16229.33, 14850.96, 14428.65, 12192.33]  

（三）核心结论

1. SVD 的有效性：通过截断奇异值可实现图像压缩，保留主要特征。
2. 参数敏感性：k 直接影响图像质量，需根据需求平衡压缩率与清晰度。
3. 矩阵意义：U 和 V 反映图像的空间特征方向，S 反映特征重要性排序。

六、总结

  本次实验通过 Python 实现了基于 SVD 的图像处理，直观展示了数学理论在计算机视觉中的应用。通过调整保留的奇异值数量，我们深入理解了 SVD 在特征提取和数据压缩中的核心作用，为后续学习 PCA、图像降噪等算法奠定了基础。