差分数组一文全解析

前言

在处理数组相关问题时，我们经常会遇到频繁对数组的某个区间进行修改（如区间内所有元素增加或减少一个固定值），然后查询数组元素值的场景。如果每次修改都直接遍历区间进行操作，时间复杂度会非常高。差分数组作为一种巧妙的数据结构，通过记录相邻元素的差值，将区间修改操作转化为对差分数组少数几个元素的操作，从而大大提高了处理效率。本文我将详细介绍差分数组的基本概念、构建方法、核心操作、应用场景，并结合代码示例，带你全面掌握这一实用的数据结构技巧。

一、差分数组的基本概念

1.1 定义与原理

对于给定的数组 arr = [a1, a2, a3, ..., an]，其对应的差分数组 diff 定义为：

• diff[1] = a1
• diff[i] = a[i] - a[i - 1]（i > 1）

例如，若数组 arr = [1, 3, 6, 10]，则差分数组 diff = [1, 3 - 1, 6 - 3, 10 - 6] = [1, 2, 3, 4]。差分数组的核心原理在于：通过差分数组可以快速实现对原数组区间的修改操作。对原数组 arr 的区间 [left, right] 内所有元素增加 val，只需要在差分数组 diff 中进行 diff[left] += val 和 diff[right + 1] -= val 这两步操作（假设数组索引从 1 开始，若索引从 0 开始，对应调整为 diff[left] += val 和 diff[right + 1] -= val，同时注意边界情况） 。之后，通过累加差分数组就可以得到修改后的原数组。这是因为差分数组记录了相邻元素的变化量，对差分数组特定位置的修改，会在还原原数组时影响到对应区间的元素值。

1.2 与前缀和数组的联系与区别

差分数组和前缀和数组都是对原数组进行预处理的数据结构，但它们的作用和操作方式有所不同：

• 联系：前缀和数组记录的是原数组前缀元素的累加和，差分数组记录的是相邻元素的差值，二者在一定程度上是互逆的操作。通过前缀和数组可以从差分数组还原出原数组，而通过差分数组的特定操作可以高效实现对原数组的区间修改。

• 区别：前缀和数组主要用于快速计算原数组的区间和，而差分数组主要用于高效处理原数组的区间修改操作。前缀和数组的构建是依次累加原数组元素，差分数组的构建是计算相邻元素的差值 。

二、差分数组的构建与核心操作

2.1 构建差分数组

Python 为例构建差分数组的代码如下：

arr = [1, 3, 6, 10]
diff = [arr[0]]
for i in range(1, len(arr)):diff.append(arr[i] - arr[i - 1])
print(diff)

上述代码中，首先将原数组 arr 的第一个元素添加到差分数组 diff 中，然后通过遍历原数组，依次计算相邻元素的差值，并添加到 diff 中，从而得到完整的差分数组。

2.2 区间修改操作

假设要对原数组 arr 的区间 [left, right] 内所有元素增加 val，在差分数组 diff 上的操作如下：

def range_add(diff, left, right, val):diff[left] += valif right + 1 < len(diff):diff[right + 1] -= valreturn diffarr = [1, 3, 6, 10]
diff = [arr[0]]
for i in range(1, len(arr)):diff.append(arr[i] - arr[i - 1])
left, right, val = 1, 3, 2  # 对区间 [1, 3] 内元素增加 2
diff = range_add(diff, left, right, val)
print(diff)

在上述代码中，定义了函数 range_add 来实现区间修改操作。在函数中，首先对差分数组 diff 的 left 位置增加 val，然后判断 right + 1 是否越界，如果不越界，对 right + 1 位置减去 val。这样就完成了对原数组对应区间的修改操作在差分数组上的映射。

2.3 从差分数组还原原数组

通过累加差分数组，可以得到原数组。代码如下：

def restore_array(diff):arr = [diff[0]]for i in range(1, len(diff)):arr.append(arr[i - 1] + diff[i])return arrdiff = [1, 2, 3, 4]
arr = restore_array(diff)
print(arr)

上述代码中，首先将差分数组 diff 的第一个元素添加到结果数组 arr 中，然后通过遍历差分数组，依次累加得到原数组的各个元素。

三、差分数组的应用场景

3.1 频繁区间修改问题

在很多实际问题中，会频繁对数组的区间进行修改操作。例如，在游戏开发中，需要对游戏地图中某个区域的所有角色属性进行批量修改；在统计系统中，需要对某段时间内的数据进行统一调整等。使用差分数组可以将每次区间修改操作的时间复杂度从 $O(n)$（直接遍历区间修改）降低到 $O(1)$（修改差分数组的两个位置），大大提高了程序的运行效率 。

3.2 区间计数问题

结合差分数组和前缀和数组，可以解决一些区间计数问题。例如，统计在一系列区间修改操作后，数组中大于某个阈值的元素个数。首先通过差分数组完成区间修改操作，然后构建前缀和数组得到修改后的原数组，最后遍历原数组进行计数。

3.3 线段覆盖问题

在几何问题或资源分配问题中，经常会遇到线段覆盖问题。例如，在数轴上有若干条线段，每条线段表示一个区间，需要统计被至少 k 条线段覆盖的区间长度。可以将每条线段的起始位置和结束位置在差分数组上进行标记（起始位置增加 1，结束位置减少 1），然后通过累加差分数组得到每个位置被覆盖的次数，从而解决问题 。

总结

差分数组作为一种高效处理数组区间修改问题的数据结构，通过独特的差值记录方式，将复杂的区间操作进行了简化和优化。从差分数组的定义、构建，到区间修改、还原原数组等核心操作，再到实际应用场景，都体现了其在解决特定类型问题时的强大优势。当遇到频繁的数组区间修改需求时，合理运用差分数组能够显著提升代码的效率和性能。

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