数学复习笔记 19

前言

向量收尾。线代大概是学了一半了。

向量

向量可以认为是一个矩阵。

线性组合

前面加一个系数就可以了。线性组合和线性表示实际上就是一个意思。

线性相关性

实际上就是内部的向量，至少有一个可以用其他向量表示出来。存在一种情况，系数不全为零，使得线性表示的结果为零，表示这组向量组线性相关。

线性无关

当且仅当所有的系数为零时整个线性组合的结果为零。也就是说向量组里面每个向量都是独立的。不相关的。

极大无关组

里面的每个向量都是独立的。我感觉就是这个意思。满足两个要求，里面的向量线性无关，并且可以表示所有的向量。一千四百人在看直播，努力的人非常多，我要跟上大家的节奏。向量组的秩就是极大无关组里面向量的个数。

三秩相等

三项之力，好像是以前王者里面的一把神器。矩阵的秩 = 行秩 = 列秩。列秩就是把矩阵写成几个列向量。一般计算秩都用矩阵的秩，然后慢慢推导出来。求矩阵的秩，可以行变换，可以求行列式。行秩，是说把向量划分为行向量。矩阵和转置之后的矩阵的秩是一致的。

求列向量组的秩

首先写成矩阵的形式，然后行变换或者行列式，三板斧。二板。我们算行向量，是先把行向量转置，然后按照列排列。然后按照矩阵的算法来求。进度肯定是不着急的，关键是打牢基本功啊。关键是消化程度。要是消化理解得非常非常好，数学就学到位了。我想清楚了，现在就是要把基础讲义刷烂。不是大量练习的问题。矩阵的秩和向量组的秩，计算上是一致的，但是定义上是有差别的。

判断向量组线性相关

定义，和比较秩和向量个数。后面这种方法更加重要。因为算秩是一个很重要的基本功。飞舞法，哈哈哈，笑死，这个我之前其实学的挺好的，理解这个东西可以理解得非常深刻，这种感觉非常可以。

线代最重要的思维方式

这个考虑我之前学习过，就是把一个行向量，写成一个行向量，和一个矩阵相乘的形式。这个是最重要的一种思维方式。当一个向量组被另一个向量组表示的时候，可以立即将其写成矩阵相乘的形式。左乘列满秩不变秩，右乘行满秩不变秩。

重要向量组

矩阵乘以列向量。算出来是只有一列。向量个数超过向量维数，向量组一定线性相关。就像一个平面里面任意选两条不共线的向量，可以表示平面内的任何向量。向量组线性无关，那么伸长组也是线性无关的，伸长组是维数增加。向量的秩是不变的。然后比较秩和向量的个数，线性无关，秩和向量个数是恒等的。向量组线性相关，缩短组也相关。这个很好理解。

重要考点

本来无关，伸长也是无关的。

本来有关，缩短之后也是有关的。

求向量的极大无关组

定义法和行变换。定义法就是算秩就可以了。