ABC404E 题解

E. Bowls and Beans

题意

$N$ 个碗排成一排，编号为 $0\sim N-1$，碗 $i$ 中有 $A_i$ 个豆子，上面写着一个数字 $C_i$。

每次操作可以将碗 $i$ 里的豆子可以放到之前 $i-C_i\sim i-1$ 中的任意碗里，并且可以任意分配每个碗里放几颗。

最初碗 $0$ 中没有豆子，问：将所有豆子都移到碗 $0$ 中，最少需要多少步。

思路

$N\le 2000$，考虑 $O(n^2)$ 动态规划。

动态规划基本三步：

1. 设计 $\text{DP}$ 状态：

​ 定义 $f_i$ 表示将编号 $\ge i$ 的所有碗中的豆子全部移到碗 $i$ 中的最小步骤；

2. 初始化：

​ 设最后一个有豆子的碗为 $p$，则对于 $i=p\sim n-1$，$f_i=0$（不需要操作），其余初始 $f_i=\infty$；

3. 转移顺序及转移方程：

   顺序：由于每个碗里的豆子只能往前移，为避免转移产生影响后续计算，应从后往前转移；

   满足以下条件时，$f_i=\min (f_i,f_j+1)$：

   • 条件1：$j>i$；

   • 条件2：碗 $j$ 的豆子可以移到碗 $i$ 中，即$j-i\le C_j$；

   • 条件3：若 $i-j\ge 2$，$i+1$ 到 $j-1$ 之间的任何一个碗都没有豆子（否则不可能一步就完成 $j\to i$ 的操作）。

C++ 代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int inf=3e18;
const int maxn=2005;
int n;
int c[maxn],f[maxn];
bool a[maxn];
signed main(){cin>>n;for(int i=1;i<n;i++) cin>>c[i];for(int i=1;i<n;i++) cin>>a[i];//初始化for(int i=0;i<n;i++) f[i]=inf;int pos;for(int i=n-1;i>=0;i--){f[i]=0;if(a[i]){pos=i-1;break;}}//转移for(int i=pos;i>=0;i--){//为了避免产生后效性，从后往前遍历for(int j=i+1;j<n;j++){//为了满足条件1，j=i+1开始if(j-i<=c[j]) f[i]=min(f[i],f[j]+1);//为了满足条件2if(a[j]) break;//为了满足条件3，只要遇到了有豆子的碗就退出}}cout<<f[0]<<endl;return 0;
}