二项分布习题集 · 题目篇

二项分布习题集 · 题目篇

共 18 题，覆盖二项分布的定义、性质、参数估计、区间估计、假设检验、
极限近似以及工程应用与编程仿真。完成后请移步《答案与解析篇》。

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1. 基础概念（4 题）

1.1 定义

写出二项分布 $\mathrm{Bin}(n,p)$ 的概率质量函数（PMF），说明 $n,p$ 的含义。

1.2 伯努利关系

用一句话说明二项分布与伯努利分布的关系，并给出数学表达式。

1.3 期望方差

由 PMF 推导 $\mathrm{Bin}(n,p)$ 的期望与方差。

1.4 累积分布函数

写出二项分布的 CDF 定义式，并说明为何一般需借助不完全 Beta 函数或软件库计算。

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2. 理论推导（5 题）

2.1 矩生成函数

推导二项分布的矩生成函数 (MGF)，并写出前两阶矩。

2.2 切比雪夫界

利用切比雪夫不等式给出
[
P!\Bigl(|X-np|>\varepsilon n\Bigr)
]
的上界（$X\sim \mathrm{Bin}(n,p)$）。

2.3 泊松极限定理

在 $n\to \infty ,p\to 0,\lambda =np$ 固定下，证明
[
\mathrm{Bin}(n,p)\xrightarrow{d}\text{Poisson}(\lambda).
]

2.4 正态近似

写出 De Moivre–Laplace 近似（含连续性校正），并说明适用条件。

2.5 指数族

证明二项分布属于指数分布族，并给出自然参数与充分统计量。

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3. 参数估计与区间（4 题）

3.1 极大似然

给定样本 $k$ 次成功、$n$ 次试验，求 $p$ 的极大似然估计 $\hat{p}$。

3.2 Wald 区间

写出 $p$ 的 $(1-\alpha )$ Wald 置信区间公式，并指出该区间在什么场景下效果较差。

3.3 Wilson 区间

推导 Wilson 区间并说明其改进点。

3.4 Beta–Binomial 后验

设先验 $p\sim \mathrm{Beta}(\alpha ,\beta )$，观测 $k|n$。写出后验分布并给出后验均值。

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4. 假设检验与功效分析（3 题）

4.1 单比例检验

观测 $n=100$，$k=38$。 检验 $H_0:p=0.4$（双侧，$\alpha =0.05$）的 z 统计量表达式。

4.2 双比例检验

样本 A：$n_1=120,k_1=70$；样本 B：$n_2=90,k_2=40$。
写出比较 $p_1-p_2$ 是否为 0 的标准 z 检验统计量。

4.3 样本量估算

若要检测 $p$ 是否大于 0.5，最小可检偏差 $\Delta =0.05$，显著性 0.05、功效 0.9，求所需 $n$（正态近似即可）。

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5. 应用与编程（2 题）

5.1 A/B Test 模拟

描述如何用 Python 模拟 10,000 轮 A/B Test（各 500 次试验，真实 $p_A=0.42,p_B=0.45$），
估计显著检出率（假阳率 5%）。

5.2 Monte-Carlo 验证正态近似

编写思路：对于 n = { 10 , 30 , 100 } n=\{10,30,100\} n={10,30,100}，随机生成 $10^4$ 个 $\mathrm{Bin}(n,0.3)$ 样本，
绘制标准化后的直方图并叠加 $N(0,1)$ 密度曲线，比对近似优劣。

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全部做完后，再阅读《答案与解析篇》！