用遗传算法破解一元函数最大值问题：从原理到 MATLAB 实现

在优化问题的世界里，很多函数并非呈现出简单的线性或凸性特征，传统的求导等解析方法往往难以奏效。比如形如f(x) = 3x + 6cos²(5x) + 7sin(4x)的复杂函数，其图像布满了多个局部极值点，想要找到全局最大值，就需要借助更具 “探索性” 的算法。遗传算法正是这样一种受生物进化启发的智能优化方法，它能模拟自然选择、交叉和变异的过程，在解空间中高效搜索最优解。本文将以求解上述一元函数在x∈[20,30]范围内的最大值为例，详细讲解遗传算法的原理，并通过完整的 MATLAB 代码实现，带大家一步步见证算法的优化过程。

一、问题背景：我们要解决什么？

首先明确本次优化的核心目标：在x∈[20,30]的区间内，找到使得目标函数f(x) = 3x + 6cos²(5x) + 7sin(4x)取得最大值的x值及对应的函数值。

为什么这个问题需要遗传算法？我们可以简单分析目标函数的特性：

• 函数包含线性项3x，会随x增大而单调递增；
• 同时包含三角函数项6cos²(5x)和7sin(4x)，这两个项会带来高频的波动，使得函数图像呈现出 “整体上升、局部震荡” 的特征，产生大量局部极值点。

传统方法（如梯度上升法）很容易陷入某个局部最大值，而遗传算法通过 “种群进化” 的方式，能在多个可能的解之间进行选择和迭代，更大概率找到全局最优解。

二、遗传算法核心原理：模拟生物进化的 “智能搜索”

遗传算法（Genetic Algorithm, GA）的灵感来源于达尔文的生物进化论，核心思想是 “适者生存、优胜劣汰”。它将每个可能的解（即x值）编码为 “染色体”，多个染色体组成 “种群”，通过选择、交叉、变异三个核心操作，让种群一代一代进化，最终筛选出适应度最高的个体（即最优解）。

1. 关键概念对应

为了更好地理解算法逻辑，我们先建立 “算法术语” 与 “生物进化” 的对应关系：

三、MATLAB 代码实现：一步步拆解算法逻辑

接下来，我们对照完整的 MATLAB 代码，逐模块解析遗传算法的实现过程。代码整体分为 “参数设置、种群初始化、进化迭代（选择 - 交叉 - 变异）、结果输出与可视化” 五个部分，同时包含三个核心工具函数（适应度计算、选择、交叉、变异）。

1. 第一步：参数设置 —— 为算法 “定规矩”

首先需要定义遗传算法的核心参数，这些参数会直接影响算法的搜索效率和优化结果，需要根据问题特点合理设置：

% 参数设置
pop_size = 100;          % 种群大小：每次迭代保留100个候选解，越大多样性越强但计算量越大
chrom_length = 10;       % 染色体长度（二进制编码）：10位二进制可表示0-1023，决定x的精度
max_generations = 100;   % 最大进化代数：迭代100次后停止，避免无限循环
crossover_prob = 0.8;    % 交叉概率：80%的概率进行交叉操作，保证种群更新效率
mutation_prob = 0.01;    % 变异概率：1%的概率翻转二进制位，避免陷入局部最优
x_min = 20;              % x的取值下限
x_max = 30;              % x的取值上限

这里需要重点解释染色体长度的选择：
10 位二进制数的取值范围是0~2¹⁰-1=1023，我们通过线性映射将其转换为[20,30]区间内的x值，映射公式为：
x = x_min + 二进制解码值 × (x_max - x_min) / (2^chrom_length - 1)
染色体长度越长，x的精度越高（10 位对应的精度约为(30-20)/1023≈0.0098），但计算量也会随之增加。

2. 第二步：种群初始化 —— 生成第一代 “候选解”

种群是算法的起始点，我们需要随机生成pop_size个长度为chrom_length的二进制向量，每个向量代表一个候选解（染色体）：

% 初始化种群：100行（个体）×10列（二进制位），元素为0或1
population = randi([0, 1], pop_size, chrom_length);

例如，某个染色体可能是[1,0,1,0,0,1,1,0,1,0]，后续会将其解码为具体的x值。

3. 第三步：核心迭代 —— 让种群 “一代更比一代强”

这是遗传算法的核心环节，通过max_generations次迭代，每次迭代包含 “计算适应度、选择、交叉、变异” 四个步骤，逐步优化种群。

（1）计算适应度：给每个个体 “打分”

适应度函数是连接 “染色体” 和 “目标函数” 的桥梁，它将二进制编码的染色体解码为x值，再代入目标函数计算出适应度（即函数值），适应度越高的个体越容易被保留。

适应度函数实现：

function fitness = fitness_function(individual, x_min, x_max, chrom_length)% 1. 二进制转十进制：如[1,0,1]→5x_dec = bin2dec(num2str(individual));% 2. 映射到[20,30]区间：将十进制值线性缩放x = x_min + x_dec * (x_max - x_min) / (2^chrom_length - 1);% 3. 计算适应度（目标函数值）fitness = 3 * x + 6 * cos(5 * x).^2 + 7 * sin(4 * x);
end

在主迭代中，我们用arrayfun批量计算每个个体的适应度，并记录每一代的最优适应度：

% 初始化最优适应度记录数组
best_fitness_values = zeros(1, max_generations);for generation = 1:max_generations% 计算所有个体的适应度fitness_values = arrayfun(@(i) fitness_function(population(i, :), x_min, x_max, chrom_length), 1:pop_size);% 记录当前代的最优适应度[best_fitness, ~] = max(fitness_values);best_fitness_values(generation) = best_fitness;disp(['第', num2str(generation), '代：最优适应度 = ', num2str(best_fitness)]);% ... 后续选择、交叉、变异操作 ...
end

（2）选择操作：“适者生存” 的核心

选择操作的目的是从当前种群中筛选出适应度高的个体，为后续的交叉、变异提供 “优质亲本”。本文采用最经典的轮盘赌选择法，其原理是：个体的选择概率与自身适应度成正比，适应度越高，被选中的概率越大（类似轮盘上的扇形面积越大，指针指向它的概率越大）。

轮盘赌选择函数实现：

function selected_population = roulette_wheel_selection(population, fitness_values)% 1. 计算总适应度total_fitness = sum(fitness_values);% 2. 计算每个个体的选择概率selection_prob = fitness_values / total_fitness;% 3. 计算累积概率（轮盘的“刻度”）cum_prob = cumsum(selection_prob);% 4. 轮盘赌选择：生成pop_size个随机数，对应选择个体[pop_num, chrom_len] = size(population);selected_indices = zeros(pop_num, 1);  % 存储选中个体的索引for i = 1:pop_numr = rand();  % 生成0~1的随机数% 找到第一个累积概率大于r的个体索引selected_indices(i) = find(r < cum_prob, 1, 'first');end% 5. 生成选择后的种群selected_population = population(selected_indices, :);
end

（3）交叉操作：“基因重组” 产生新个体

交叉操作是遗传算法产生新解的主要方式，它模拟生物的基因重组过程：随机选择两个亲本染色体，在某个 “交叉点” 交换部分基因，产生两个新的子代染色体。交叉概率crossover_prob控制交叉操作的频率（本文设为 0.8，即 80% 的亲本会进行交叉）。

交叉函数实现：

function [child1, child2] = crossover(parent1, parent2, crossover_prob)if rand < crossover_prob  % 满足交叉概率，进行交叉% 随机选择交叉点（不能是染色体的两端，否则等同于不交叉）cross_point = randi([1, length(parent1)-1]);% 交换交叉点后的基因child1 = [parent1(1:cross_point), parent2(cross_point+1:end)];child2 = [parent2(1:cross_point), parent1(cross_point+1:end)];else  % 不满足交叉概率，直接保留亲本child1 = parent1;child2 = parent2;end
end

在主迭代中，我们按 “两两配对” 的方式对选择后的种群进行交叉：

% 初始化新种群
new_population = zeros(pop_size, chrom_length);% 两两配对进行交叉（i步长为2）
for i = 1:2:pop_size-1[child1, child2] = crossover(selected_population(i, :), selected_population(i+1, :), crossover_prob);new_population(i, :) = child1;new_population(i+1, :) = child2;
end

（4）变异操作：“基因突变” 增加种群多样性

变异操作是遗传算法避免陷入局部最优的关键，它随机翻转染色体的某个二进制位（0 变 1 或 1 变 0），为种群引入新的基因，增加搜索的广度。变异概率mutation_prob通常设置得很小（本文设为 0.01），避免过度变异破坏优质基因。

变异函数实现：

function mutated_individual = mutate(individual, mutation_prob)for i = 1:length(individual)if rand < mutation_prob  % 满足变异概率，翻转当前位individual(i) = 1 - individual(i);endendmutated_individual = individual;
end

在主迭代中，对交叉后的新种群逐个进行变异：

% 对新种群中的每个个体进行变异
for i = 1:pop_sizenew_population(i, :) = mutate(new_population(i, :), mutation_prob);
end% 更新种群：将变异后的种群作为下一代的起始种群
population = new_population;

4. 第四步：结果输出与可视化 —— 验证算法效果

迭代结束后，我们需要从所有代的最优适应度中找到全局最优值，并解码出对应的x值，同时绘制 “适应度进化曲线”，直观展示算法的优化过程。

（1）输出最优解

% 找到全局最优适应度及对应的代次
[global_best_fitness, best_gen] = max(best_fitness_values);
% 找到最优代对应的染色体（最优个体）
global_best_individual = population(best_gen, :);
% 解码最优个体为x值
x_dec = bin2dec(num2str(global_best_individual));
global_best_x = x_min + x_dec * (x_max - x_min) / (2^chrom_length - 1);% 输出结果
disp('==================== 优化结果 ====================');
disp(['最优x值：', num2str(global_best_x)]);
disp(['最优函数值（适应度）：', num2str(global_best_fitness)]);
disp(['找到最优解的代次：', num2str(best_gen)]);

（2）绘制适应度进化曲线

figure('Position', [100, 100, 800, 500]);  % 设置图像大小
plot(1:max_generations, best_fitness_values, 'b-', 'LineWidth', 1.5);
xlabel('进化代数', 'FontSize', 12);
ylabel('最优适应度（函数值）', 'FontSize', 12);
title('遗传算法适应度进化曲线', 'FontSize', 14, 'FontWeight', 'bold');
grid on;  % 显示网格

进化曲线的典型特征是：前期适应度快速上升（算法快速找到较优解），后期上升逐渐平缓（种群趋于稳定，接近全局最优）。

四、算法运行结果与分析

我们运行上述代码后，得到的典型结果如下（因算法存在随机性，每次结果略有差异）：

• 最优 x 值：约 29.8~30.0（接近区间上限，因为目标函数的线性项3x起主导作用）
• 最优函数值：约 95~97
• 找到最优解的代次：约 50~80 代

从进化曲线可以观察到：

1. 前 20 代：适应度快速上升，说明算法快速淘汰了差的解，保留了优质解；
2. 20~80 代：适应度缓慢上升，种群在局部最优附近微调，逐渐逼近全局最优；
3. 80 代后：适应度基本稳定，说明种群已收敛到全局最优解。

五、参数调优建议：让算法更高效

遗传算法的参数设置对优化结果影响很大，若运行效果不佳，可尝试以下调优方向：

1. 种群大小（pop_size）：若结果波动大，可增大种群（如 150~200），增加多样性；若计算太慢，可减小种群（如 50~80）。
2. 染色体长度（chrom_length）：若需要更高的x精度，可增加长度（如 12 位，精度约 0.0024）；若精度足够，可减小长度（如 8 位，精度约 0.039）。
3. 交叉概率（crossover_prob）：建议在 0.7~0.9 之间调整，过小会导致种群更新慢，过大可能破坏优质基因。
4. 变异概率（mutation_prob）：建议在 0.001~0.05 之间调整，过小容易陷入局部最优，过大导致种群不稳定。

六、总结

本文通过 MATLAB 实现了遗传算法求解一元复杂函数的最大值，从原理到代码逐步拆解，清晰展示了遗传算法 “选择 - 交叉 - 变异” 的核心逻辑。相比传统优化方法，遗传算法无需依赖函数的连续性和可导性，只需通过 “适应度” 评估解的优劣，就能在复杂解空间中高效搜索全局最优解。

除了一元函数，遗传算法还可扩展到多元函数优化、组合优化（如旅行商问题）、机器学习参数调优等领域。只要掌握了 “编码 - 适应度 - 进化操作” 的核心框架，就能将其应用到更多实际问题中。