SPSA为什么要求三阶可导

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1. 为什么需要三阶可导（而不是一阶或二阶）？

这个要求几乎完全是为了支持SPSA（Simultaneous Perturbation Stochastic Approximation）梯度估计方法的严格理论证明。具体原因如下：

a) SPSA的泰勒展开要求：
SPSA的核心是通过在参数空间的两个扰动点 $\beta \pm c_t{\Delta }_t$ 计算目标函数值来估计梯度。其公式推导依赖于对目标函数 $Q(\beta )$ 进行高阶泰勒展开。

回顾证明中的关键步骤：
$$Q(\beta \pm c_t{\Delta }_t)=Q(\beta )\pm c_t{\Delta }_t^{\top }\nabla Q(\beta )+\frac{c_t^2}{2}{\Delta }_t^{\top }{\nabla }^{2}Q(\beta ){\Delta }_t+O(c_t^3)$$
两项相减后，一阶项被保留用于梯度估计，而二阶项正好被消去：
$$Q(\beta +c_t{\Delta }_t)-Q(\beta -c_t{\Delta }_t)=2c_t{\Delta }_t^{\top }\nabla Q(\beta )+O(c_t^3)$$

• 如果只有一阶可导：我们无法写出二阶项，也就无法严格证明 $O(c_t^2)$ 及更高阶的余项可以被控制。泰勒展开的余项形式会变得不明确。
• 如果只有二阶可导：我们可以写出二阶项，并且知道它们会被消去。但余项是 $O(c_t^3)$，其具体形式（例如，是否与 ${\Delta }_t$ 相关）需要三阶导数的信息来界定。根据泰勒中值定理，余项的大小与三阶导数的上界有关。

b) 控制估计偏差：
SPSA梯度估计的期望是：
$$\mathbb{E}[{\hat{g}}_t]=\nabla Q({\beta }^{(t)})+O(c_t^2)$$
这个 $O(c_t^2)$ 的偏差项来自于泰勒展开中被忽略的高阶项。为了在理论上严格证明这个偏差项是 $c_t^2$ 的量级，并且其期望值不会爆炸，我们需要假设目标函数足够光滑（即三阶导数存在且连续），从而确保三阶导数的上界存在。

总结一下：
一阶可导保证了梯度 $\nabla Q$ 的存在，二阶可导保证了Hessian矩阵 ${\nabla }^{2}Q$ 的存在（对于某些收敛性分析有用），但三阶可导是为了严格控制SPSA方法中特有的高阶误差项，从而证明梯度估计是渐近无偏的 ($\mathbb{E}[{\hat{g}}_t]=\nabla Q(\beta )+O(c_t^2)$)。

2. 一般线性回归满足三阶可导的条件吗？

完全满足，而且远超要求。

对于一般的线性回归模型，其矩函数通常是参数 ($\beta$, ${\alpha }_k$) 的线性函数。例如，最简单的线性矩条件为：
$$g(x_i,y_i;\beta )=x_i(y_i-x_i^{\top }\beta )$$
让我们检查一下光滑性：

• 一阶导数：$\frac{\partial g}{\partial \beta }=-x_i{x}_i^{\top }$，是一个常数矩阵（与 $\beta$ 无关）。
• 二阶导数：$\frac{{\partial }^{2}g}{\partial \beta \partial {\beta }^{\top }}=0$，因为一阶导数已经是常数。
• 三阶及更高阶导数：全部为 0。

因此，线性回归模型的矩函数不仅是三阶可导，而是任意阶可导，并且所有高阶导数都为零。它完美地满足了理论假设，并且SPSA估计中的高阶误差项 $O(c_t^3)$ 实际上恒等于零。在这种情况下，SPSA梯度估计的偏差项 $O(c_t^2)$ 实际上也是零，$\mathbb{E}[{\hat{g}}_t]=\nabla Q({\beta }^{(t)})$，是一个无偏估计。

结论

1. 为何需要三阶可导：主要是为了满足SPSA梯度估计方法在理论证明上的技术要求，即通过对目标函数进行三阶泰勒展开来严格界定并控制估计的偏差。这是一个为了理论严谨性而设置的充分条件。
2. 线性回归的情况：线性回归的矩函数是参数的线性函数，其所有高阶导数均为零，因此完全满足甚至大大超过了三阶可导的光滑性假设。这也是SPSA方法在线性或近似线性模型中表现尤其出色的理论原因。

在实际应用中，即使对于某些非线性模型（如Logistic回归），其三阶导数也存在且连续，同样满足该假设。这个假设的主要目的是排除那些非常不规则、震荡剧烈的目标函数，确保算法具有良好的收敛性质。