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算法 --- 二分

news 2025/8/29 11:29:54

二分

二分算法的特点是最恶心，细节最多，最容易写出死循环的算法，但是理解之后，就是最简单的！（我们在做题过程中，一定要细心画）

我们经常听：当数组有序的时候，我们才可以使用二分查找算法，但是当我们真正的理解其算法原理之后，我们才会发现，二分算法是很厉害的算法，不仅仅是数组有序的时候使用，即使数组无序的情况，只要我们能发现一些规律，也是可以使用二分查找算法的！

二分算法主要适用于 单调性问题 或 具有二段性（可二分性）的问题，即通过某个条件可以将问题划分为两个连续的部分（一部分满足条件，另一部分不满足），从而通过二分快速定位目标值或边界。

对于二段性，我们可以通过示例来分段，是否可行，对于一些题目，我们可以通过函数图像来分析！

适用二分算法的题目类型：

在有序数组中查找目标值（经典二分查找）：例如：给定升序数组 nums 和目标值 target，找到 target 的索引。

寻找边界（第一个/最后一个满足条件的元素）：例如：在有序数组中找到 target 的第一次出现位置（左边界）或最后一次出现位置（右边界）。

最大值最小化/最小值最大化问题（二分答案）：问题可以转化为：假设答案为 x，判断 x 是否可行，且 x 的取值范围具有单调性（若 x 可行，则比 x 更大/更小的值也可行或不可行）。

典型例子：

分割数组的最大值（将数组分成 k 段，使子数组和的最大值最小）。

在 D 天内送达包裹的能力（传送带每天运送能力为 x，判断能否在 D 天内运完所有包裹，求最小 x）。

制作 m 束花所需的最少天数（花需要连续开放 k 天才能制作一束，求最小天数使得能制作 m 束）。

旋转排序数组中的查找（利用二段性）：例如：搜索旋转排序数组（如 [4,5,6,7,0,1,2]），虽然整体无序，但总有一侧是有序的，可以通过二分缩小范围。

未排序但具有二段性的问题（如峰值查找、山脉数组等）：例如：寻找峰值（nums[i] > nums[i-1] && nums[i] > nums[i+1]），通过比较中间元素与相邻元素判断峰值在哪一侧。

核心思路：

二分的本质是逐步缩小搜索范围，通过判断中间元素与目标条件的关系，确定目标在左半部分还是右半部分。

关键点：

确定搜索区间（左闭右闭 [left, right] 或左闭右开 [left, right)）。
定义 check(mid) 函数（判断中间值是否满足条件，从而决定如何移动边界）。
注意终止条件（避免死循环），通常 while (left <= right) 或 while (left < right)。

总结：

只要问题可以转化为“在单调序列中查找”或“具有二段性（可通过某个条件将区间一分为二）”，就可以考虑二分算法。常见于查找目标值、边界、二分答案（最值问题）等场景。

也就是说不管数组有无顺序，只要当我们发现一个规律，我们根据这个规律选取一个点之后，能将这个数组分成两部分，根据规律能有选择性的减去一部分，然后去另一部分查找，此时我们就可以使用二分查找算法，这就是二段性！

我们可以选择中间位置，三分之一位置，四分之一位置...来进行抽象！只要能分成两部分就可以了！但是根据概率学，我们中间部分是更好的！

模板（不要死记硬背，核心要理解）解决99.9%的二分题

朴素的二分模板（下面第一题）（简单）

细节：left > right 的时候结束循环
left <= right --- 持续循环查找
x < t left = mid + 1 --> [mid + 1, right]
x > t right = mid - 1 --> [left, mid - 1]
x == t  --> return midmid = left + ((right - left) >> 1);
在于 + 的优先级高于 >>（右移运算符）

模板就是：

while(left <= right)//细节，一定是 "<="
{int mid = left + ((right - left) >> 1);//防溢出风险int mid = left + ((right - left + 1) >> 1);//防溢出风险//两者等价if(......) {right = mid - 1;}else if(......) {left = mid + 1;}else {return ......;}
}

"......"根据题目的二段性，将信息填入到"......"

后面的两个模板是万能的，也可以解决第一个问题，但是细节多的！

查找左边界的二分模板（下面第二题）（up）

查找左端点最核心的两步：x < t -> left = mid + 1 ---> [mid + 1, right]x >= t -> right = mid ---> [mid, right]不同点在于更新 right 的时候，要更新到 mid 位置，因为 mid 可能是最终结果细节处理（最恶心，也最重要）：1. 循环条件 --- left < right(我们根据图也是可以知道的 --- 第二问)
分析：[------------------------------------]|                ||                  |l              m-1 m                  r【 合法区域（left）】 【  合法区域（right）】 i.  有结果   :right 永远在合法区间内，但是left=mid+1，是想要跳出合法区域，所以当left=right的时候，就是最终结果，没有必要再进去循环！ii. 全大于 t :只有right会动，会疯狂往left走，知道left=right，没有必要再进入循环！我们只需要判断nums[letf]的值是否等于t，就可以判断出是否找到！iii.全小于 t :同理如果我们使用left<=right就会出现死循环2. 求重点的操作（求 mid ）
对于朴素二分的mid有两种形式：（都可以用）
left + (right - left) / 2     --- 当数组是偶数的时候，求得是靠左的位置
left + (right - left + 1) / 2 --- 当数组是偶数的时候，求得是靠右的位置
但是对于查找左边界：
当数组剩下两个元素【left, right】，我们采用第二种方式求解的话，mid是当前的right位置：
如果x < t, left = mid + 1就会结束循环
如果x >= t, right = mid, 这就会造成死循环！所以我们对于查找左边界，需要使用 --- left + (right - left) / 2 这种形式

while(left < right)
{int mid = left + (right - left) / 2;if(......) left = mid + 1;else right = mid;
}

查找右边界的二分模板（下面第二题）（up）

查找右端点最核心的两步：x <= t -> left = mid ---> [mid, right]x > t -> right = mid - 1 ---> [mid - 1, right]不同点在于更新 right 的时候，要更新到 mid 位置，因为 mid 可能是最终结果细节处理（最恶心，也最重要）：1. 循环条件 --- left < right(我们根据图也是可以知道的 --- 第二问)
分析：[------------------------------------]|                ||                  |l               m m+1                  r【 合法区域（left）】 【  合法区域（right）】 i.  有结果   :left 永远在合法区间内，但是right=mid-1，是想要跳出合法区域，所以当left=right的时候，就是最终结果，没有必要再进去循环！ii. 全大于 t :只有right会动，会疯狂往left走，知道left=right，没有必要再进入循环！我们只需要判断nums[letf]的值是否等于t，就可以判断出是否找到！iii.全小于 t :同理如果我们使用left<=right就会出现死循环2. 求重点的操作（求 mid ）
对于朴素二分的mid有两种形式：（都可以用）
left + (right - left) / 2     --- 当数组是偶数的时候，求得是靠左的位置
left + (right - left + 1) / 2 --- 当数组是偶数的时候，求得是靠右的位置
但是对于查找右边界：
当数组剩下两个元素【left, right】，我们采用第一种方式求解的话，mid是当前的left位置：
如果x <= t, left = mid就会造成死循环
如果x > t, right = mid - 1, 这就会结束循环！所以我们对于查找右边界，需要使用 --- left + (right - left + 1) / 2 这种形式

while(left < right)
{int mid = left + (right - left + 1) / 2;if(......) left = mid;else right = mid - 1;
}

题目练习

704. 二分查找 - 力扣（LeetCode）

算法流程：

a. 定义 left，right 指针，分别指向数组的左右区间。

b. 找到待查找区间的中间点 mid，找到之后分三种情况讨论：

i. arr[mid] == target 说明正好找到，返回 mid 的值；

ii. arr[mid] > target 说明 [mid, right] 这段区间都是大于 target 的，因此舍去右边区间，在左边 [left, mid - 1] 的区间继续查找，即让 right = mid - 1，然后重复 2 过程；

iii. arr[mid] < target 说明 [left, mid] 这段区间的值都是小于 target 的，因此舍去左边区间，在右边 [mid + 1, right] 区间继续查找，即让 left = mid + 1，然后重复 2 过程；

c. 当 left 与 right 错开时，说明整个区间都没有这个数，返回 -1。

细节：left > right 的时候结束循环
left <= right --- 持续循环查找
x < t left = mid + 1 --> [mid + 1, right]
x > t right = mid - 1 --> [left, mid - 1]
x == t  --> return mid

补充：对于中间点，我们使用下面的计算方式是可以防止溢出，并且提高效率的（微乎其微）

mid = left + ((right - left) >> 1);
在于 + 的优先级高于 >>（右移运算符）

34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置 - 力扣（LeetCode）

算法思路：

二分查找，就是根据数据的性质，在某种判断条件下将区间一分为二，然后舍去其中一个区间，然后再另一个区间内查找。

用 x 表示该元素，resLeft 表示左边界，resRight 表示右边界。

寻找左边界思路：

我们注意到以左边界划分的两个区间的特点：
- 左边区间 [left, resLeft - 1] 都是小于 x 的；
- 右边区间（包括左边界） [resLeft, right] 都是大于等于 x 的；
因此，关于 mid 的落点，我们可以分下面两种情况：
- 当 mid 落在 [left, resLeft - 1] 区间的时候，也就是 arr[mid] < target。说明 [left, mid] 都是可以舍去的，此时更新 left 到 mid + 1，继续在 [mid + 1, right] 上寻找左边界；
- 当 mid 落在 [resLeft, right] 区间的时候，也就是 arr[mid] >= target。说明 [mid + 1, right]（因为 mid 可能是最终结果，不能舍去）是可以舍去的，此时更新 right 到 mid 的位置，继续在 [left, mid] 上寻找左边界；
由此，就可以通过二分，来快速寻找左边界。

注意： 这里找中间元素需要向下取整。

因为后续移动左右指针的时候：

左指针：left = mid + 1，是会向后移动的，因此区间是会缩小的；
右指针：right = mid，可能会原地踏步（比如：如果向上取整的话，如果剩下 1,2 两个元素，left = 1，right = 2，mid = 2。更新区间之后，left, right, mid 的值没有改变，就会陷入死循环）。
因此一定要注意，当 right = mid 的时候，要向下取整。

寻找右边界思路：

用 resRight 表示右边界；
我们注意到右边界的特点是：
- 右边区间（包括右边界） [left, resRight] 都是小于等于 x 的；
- 左边区间（不包括右边界） [resRight + 1, right] 都是大于 x 的；
因此，关于 mid 的落点，我们可以分下面两种情况：
- 当我们的 mid 落在 [left, resRight] 区间的时候，说明 [left, mid - 1]（mid 不可以舍去，因为可能是最终结果）都是可以舍去的，此时更新 left 到 mid + 1。当 mid 落在 [resRight + 1, right] 的区间的时候，说明 [mid, right] 内的元素是可以舍去的，此时更新 right 到 mid - 1 的位置；
由此，就可以通过二分，来快速寻找右边界。

注意： 这里找中间元素需要向上取整。

因为后续移动左右指针的时候：

左指针：left = mid，可能会原地踏步（比如：如果向下取整的话，如果剩下 1,2 两个元素，left = 1，right = 2，mid = 1。更新区间之后，left, right, mid 的值没有改变，就会陷入死循环）。
右指针：right = mid - 1，是会向前移动的，因此区间是会缩小的；
因此一定要注意，当 right = mid 的时候，要向下取整。

class Solution {
public:vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {int n = nums.size();if(n == 0) return {-1,-1};vector<int> ret;int left = 0, right = n - 1;while(left < right){int mid = left + (right - left) / 2;int midVal = nums[mid];if(midVal < target) left = mid + 1;else right = mid;}if(nums[left] != target) return {-1, -1};ret.push_back(left);left = 0, right = n - 1;while(left < right){int mid = left + (right - left + 1) / 2;int midVal = nums[mid];if(midVal <= target) left = mid;else right = mid - 1;}ret.push_back(right);return ret;}
};

二分查找算法总结：

请大家一定不要觉得背下模板就能解决所有二分问题。二分问题最重要的就是分析题意，然后确定查找的区间，根据分析问题来写出二分查找算法的代码。

要分析题意，确定搜索区间，不要死记模板，不要看左闭右开什么乱七八糟的理解
要分析题意，确定搜索区间，不要死记模板，不要看左闭右开什么乱七八糟的理解
要分析题意，确定搜索区间，不要死记模板，不要看左闭右开什么乱七八糟的理解
重要的事说三遍。

模板记忆技巧：

关于什么时候用三块，还是二段式中的某一个，一定不要强行去用，而是通过具体的问题分析情况，根据查找区间的变化确定指针的转移过程，从而选择一个模板。
当选择两段式的策略时：
- 在求 mid 的时候，只有 right - 1 的情况下，才会向上取整（也就是 +1 取中间数）

69. x 的平方根 - 力扣（LeetCode）

解法一（暴力查找）：

算法思路：

依次枚举 [0, x] 之间的所有数 j：

如果 j * j == x，直接返回 x；
如果 j * j > x，说明之前的一个数是结果，返回 j - 1。

由于 j * j 可能超过 int 的最大值，因此使用 long long 类型。

算法代码：

class Solution {
public:int mySqrt(int x) {long long i = 0;for (i = 0; i <= x; i++) {if (i * i == x) return i;if (i * i > x) return i - 1;}return -1;}
};

解法二（二分查找算法）：

算法思路：

设 x 的平方根的最终结果为 index：

a. 分析 index 左右两次数据的特点：

[0, index) 之间的元素，平方之后都是小于等于 x 的；
[index + 1, x] 之间的元素，平方之后都是大于 x 的。

因此可以使用二分查找算法。

35. 搜索插入位置 - 力扣（LeetCode）

解法（二分查找算法）：

算法思路：

a. 分析插入位置左右两侧区间上元素的特点：

设插入位置的坐标为 index，根据插入位置的特点可以知道：

[left, index - 1] 内的所有元素均是小于 target 的；
[index, right] 内的所有元素均是大于等于 target 的。

b. 设 left 为本轮查询的左边界，right 为本轮查询的右边界。根据 mid 位置元素的信息，分析下一轮查询的区间：

当 nums[mid] >= target 时，说明 mid 落在了 [index, right] 区间上，mid 左边包括 mid 本身，可能是最终结果，所以我们接下来查找的区间在 [left, mid] 上。因此，更新 right 到 mid 位置，继续查找。
当 nums[mid] < target 时，说明 mid 落在了 [left, index - 1] 区间上，mid 右边但不包括 mid 本身，可能是最终结果，所以我们接下来查找的区间在 [mid + 1, right] 上。因此，更新 left 到 mid + 1 的位置，继续查找。

c. 直到我们的查找区间的长度变为 1，也就是 left == right 的时候，left 或者 right 所在的位置就是我们要找的结果。

852. 山脉数组的峰顶索引 - 力扣（LeetCode）

解法一（暴力查找）：

算法思路：

峰顶的特点：比两侧的元素都要大。
因此，我们可以遍历数组内的每一个元素，找到某一个元素比两边的元素大即可。

算法代码：

class Solution {
public:int peakIndexInMountainArray(vector<int>& arr) {int n = arr.size();// 遍历数组内每一个元素，直到找到峰顶for (int i = 1; i < n - 1; i++) {// 峰顶满足的条件if (arr[i] > arr[i - 1] && arr[i] > arr[i + 1])return i;}return -1;}
};

解法二（二分查找）：

算法思路：

分析峰顶位置的数据特点，以及山峰两旁的数据的特点：
- 峰顶数据特点：arr[i] > arr[i - 1] && arr[i] > arr[i + 1]；
- 峰顶左边的数据特点：arr[i] > arr[i - 1] && arr[i] < arr[i + 1]，也就是呈现上升趋势；
- 峰顶右边数据的特点：arr[i] < arr[i - 1] && arr[i] > arr[i + 1]，也就是呈现下降趋势。
因此，根据 mid 位置的信息，我们可以分为下面三种情况：
- 如果 mid 位置呈现上升趋势，说明我们接下来要在 [mid + 1, right] 区间继续搜索；
- 如果 mid 位置呈现下降趋势，说明我们接下来要在 [left, mid - 1] 区间继续搜索；
- 如果 mid 位置就是山峰，直接返回结果。

162. 寻找峰值 - 力扣（LeetCode）

解法二（二分查找算法）：

算法思路：

寻找二段性：

任取一个点 i，与下一个点 i + 1，会有如下两种情况：

arr[i] > arr[i + 1]：此时「左侧区域」一定会存在山峰（因为最左侧是负无穷），那么我们可以去左侧去寻找结果；
arr[i] < arr[i + 1]：此时「右侧区域」一定会存在山峰（因为最右侧是负无穷），那么我们可以去右侧去寻找结果。

当我们找到「二段性」的时候，就可以尝试用「二分查找」算法来解决问题。

153. 寻找旋转排序数组中的最小值 - 力扣（LeetCode）

解法（二分查找）：

算法思路：

题目中的数组规则如下图所示：

其中 C 点就是我们要求的点。

二分的本质：找到一个判断标准，使得查找区间能够一分为二。

通过图像我们可以发现，[A, B] 区间内的点都是严格大于 D 点的值的，C 点的值是严格小于 D 点的值的。但是当 [C, D] 区间只有一个元素的时候，C 点的值是可能等于 D 点的值的。

因此，初始化左右两个指针 left，right：

然后根据 mid 的落点，我们可以这样划分下一次查询的区间：

当 mid 在 [A, B] 区间的时候，也就是 mid 位置的值严格大于 D 点的值，下一次查询区间在 [mid + 1, right] 上；
当 mid 在 [C, D] 区间的时候，也就是 mid 位置的值严格小于等于 D 点的值，下次查询区间在 [left, mid] 上。