【数学·三角函数】两角和差公式 二倍角公式

上一篇：【数学·三角函数】弧度制与诱导公式 （前置知识）

上期习题答案：$(1).\frac{3}{5}$；$(2).\frac{24}{5}$。

两角和差公式

上期已经讲过诱导公式，但是，对于一些奇怪的角度，比如 $\sin 15^{\circ }$，应该怎么求呢？可以想到转化为 $\sin (45^{\circ }-30^{\circ })$，此处，我们引入两角和差公式 来解决这个问题。

如图，在矩形 $ABCD$ 中，点 $E$ 在 $BC$ 上，连接 $AE$ 并作 $EF\perp AE$ 交 $CD$ 于点 $F$，连接$AF$。

根据一线三等角模型，$\angle CEF=\angle BAE$，设 $\angle CEF=\angle BAE=\alpha$，$\angle EAF=\beta$。则 $\angle BAF=\alpha +\beta$。设 $AF=x$，则：
$$在△AEF中:\{\begin{array}{l}\cos \beta =\frac{AE}{AF}=\frac{AE}{x}\Rightarrow AE=x\cos \beta \\ \sin \beta =\frac{EF}{AF}=\frac{EF}{x}\Rightarrow EF=x\sin \beta \end{array}$$
类似地：
$$在△CEF中:\{\begin{array}{l}\cos \alpha =\frac{CE}{EF}=\frac{CE}{x\sin \beta }\Rightarrow CE=x\cos \alpha \sin \beta \\ \sin \alpha =\frac{CF}{EF}=\frac{CF}{x\sin \beta }\Rightarrow CF=x\sin \alpha \sin \beta \end{array}$$
同理：
$$在△ABE中:\{\begin{array}{l}\cos \alpha =\frac{AB}{AE}=\frac{AB}{x\cos \beta }\Rightarrow AB=x\cos \alpha \cos \beta \\ \sin \alpha =\frac{BE}{AE}=\frac{BE}{x\cos \beta }\Rightarrow BE=x\sin \alpha \cos \beta \end{array}$$
因此，
$$在△AGF中:\{\begin{array}{ll}\sin (\alpha +\beta )& =\frac{GF}{AF}\\ & =\frac{BC}{AF}\\ & =\frac{BE+CE}{AF}\\ & =\frac{x\sin \alpha \cos \beta +x\cos \alpha \sin \beta }{x}\\ & =\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\ \cos (\alpha +\beta )& =\frac{AG}{AF}\\ & =\frac{AB-GB}{AF}\\ & =\frac{AB-CF}{AF}\\ & =\frac{x\cos \alpha \cos \beta -x\sin \alpha \sin \beta }{x}\\ & =\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \end{array}$$
至此，我们已经推出了两角和公式，两角差怎么推呢？根据上一期的诱导公式，$\cos (-\beta )=\cos \beta$，$\sin (-\beta )=-\sin \beta$。可以推得：
$$\{\begin{array}{ll}\sin (\alpha -\beta )& =\sin (\alpha +(-\beta ))\\ & =\sin \alpha \cos (-\beta )+\cos \alpha \sin (-\beta )\\ & =\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta \\ \cos (\alpha -\beta )& =\cos (\alpha +(-\beta ))\\ & =\cos \alpha \cos (-\beta )-\sin \alpha \sin (-\beta )\\ & =\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \end{array}$$
整理一下上面所有内容：
$$\{\begin{array}{l}\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\ \cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \end{array}$$
这就是初中数学第二纯粹的力量：两角和差公式。

至此你已经可以算出 $\sin (15^{\circ })=\sin (45^{\circ }-30^{\circ })=\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，以及其它如 $105^{\circ }$ 等角度的三角函数值。

二倍角公式

根据上述公式，我们可以对两倍角推出一个特殊的公式（直接把两个 $\alpha$ 代入两角和公式即可，过程略）：
$$\{\begin{array}{l}\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha \\ \cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha \end{array}$$
【例】如图，在 $\text{Rt}△ABC$ 中，$\angle C=90^{\circ }$，$AB=10$，$AC=8$，$\angle CBD=2\angle A$，求 $BD$ 的长。

解：

• 根据勾股定理，$BC=6$；
• 设 $\angle A=\alpha$，则 $\angle CBD=2\alpha$。$\cos \alpha =\frac{AC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$；
• 则 $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=2\times \frac{16}{25}-1=\frac{7}{25}$；
• 所以，$\frac{BC}{BD}=\frac{7}{25}$，又因为 $BC=6$，所以 $BD=\frac{25\times 6}{7}=\frac{150}{7}$。