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【超详细！题解|两种做法】洛谷P3196 [HNOI2008] 神奇的国度[MCS算法]

news 2025/8/13 19:07:47

温馨提示：本题有大量引理，看完证明直接背结论即可。

前置知识：

团：图中的一个顶点子集，其中任意两个不同的顶点之间都有边相连，即该子集诱导出的子图是一个完全图。

弦图：指图中每一个长度大于3的环（圈）都至少有一条弦的图，当然弦图也可以没有环。

没有环的特例：树、路径。

弦：连接环上两个不相邻顶点的边。

完美消除序列：图中顶点的一个特定排列顺序，满足：

对于序列中的每个顶点 $v$ ，在序列中位于 $v$ 之后的所有顶点中，v的邻点构成一个团，即这些邻点之间两两相连。

看不懂？我来举个例子。

这是一个弦图：

    A/ \B---C| /D---E

边集为： $\left \{ {A-B, B-C, C-A, B-D, C-D, D-E} \right \}$

我们来看看 $E,D,C,B,A$ 是不是完美消除序列：

顶点 $E$ （序列位置1）：
- 后续顶点： $D, C, B, A$
- $E$ 的邻点：只有 $D$
- 验证：单个顶点 $\left \{ D \right \}$ 自然形成团 ✓
- 消除 $E$ 后，图变为 $A-B-C-D$ 组成的"四边形加对角线"
顶点 $D$ （序列位置2）：
- 后续顶点： $C, B, A$
- $D$ 的邻点（在后续顶点中）： $C, B$
- 验证： $C$ 和 $B$ 之间有边， $\left \{ {C,B} \right \}$ 形成团
- 消除 $D$ 后，图变为：三角形 $ABC$
顶点 $C$ （序列位置3）：
- 后续顶点： $B, A$
- $C$ 的邻点（在后续顶点中）： $B, A$
- 验证： $B$ 和 $A$ 之间有边， $\left \{ {B,A} \right \}$ 形成团
- 消除 $C$ 后，图变为：边 $A-B$
顶点 $B$ （序列位置4）：
- 后续顶点： $A$
- $B$ 的邻点（在后续顶点中）： $A$
- 验证：单个顶点 $\left \{ {A} \right \}$ 形成团
- 消除 $B$ 后，图变为：单个顶点 $A$
顶点 $A$ （序列位置5）：
- 没有后续顶点
- 验证：条件满足

得： $E,D,C,B,A$ 是完美消除序列。

同学们可以自己试一下， $E, D, B, C, A$ 也是完美消除序列。

但是 $B, A, C, D, E$ 不是，因为删除 $B$ 后，后续节点 $A, C, D, E$ 中的邻点 $A, C, D$ 不成环。

其实完美消除序列就像拆房子，每次拆掉最外围的点，这样内部才能一直保持稳定（成团）。

说回本题的前置知识：

弦图判定基础：一个无向图是弦图当且仅当它存在完美消除序列。

证明：

必要性：如果一个图是弦图，那么它存在完美消除序列。

引理：弦图中至少存在一个单纯点（其邻点构成一个团的顶点）。

反证引理：如果弦图不存在单纯点，如果这个弦图没有环，那么就是树或者路径，

从叶子节点和路径的开头或结尾往前遍历，就是完美消除序列。

那假设这个图有环，考虑这个图包含度数最小点的最小环。

最小环大小必定为 $3$ ，不然必须有弦，那就不是最小环，矛盾。

长度为 $3$ 的环肯定有单纯点，因为去掉那个度数最小的点，剩下两个点连通。

至此，弦图肯定存在单纯点。

充分性：如果一个图存在完美消除序列，那么它是弦图。

同学们自己想下，证明不难，意会即可，这里不多赘述。

讲了一堆，现在回到本题：

题意：

给一个弦图，求它的最小染色数。

最小染色定义（最小点色数）：为图中每个顶点分配一种颜色，使得相邻顶点颜色不同。

（为啥是弦图？因为三角关系符合定义。

那为啥是最小染色呢？因为要求相互连边的点不能组成一队，求最少队数，和最小染色一样）

解析：

求弦图的最小染色，实际上就是求弦图中的最大团的大小 $n$ 。

因为团内节点都互相连边，颜色必须不同，所以最小染色数 $\geq$ 最大团的大小 $n$ 。

然而，该弦图中不可能还有更多颜色的需求，因为最多只有 $n$ 个节点是互相相邻的。

所以有最小染色数 $=$ 最大团的大小 $n$ 。

那如何求最大团的大小呢？

我们想到了完美消除序列的每个点与后续点中的邻点组成的团。

定理：在弦图的任何完美消除序列中，最大团必定是某个顶点与其后续邻点构成的团。

证明：设最大团 $C$ 第一个在完美消除序列中出现的点为 $v$ ，

$N(v)$ 为 $v$ 的邻点集合， $B(v)$ 为 $v$ 的后续节点的集合。

那么就有： $C\subseteq v\cup (N(v)\cap B(v))$

又因为 $C$ 是最大团，所以 $v\cup (N(v)\cap B(v))$ 大小刚好和 $C$ 相等。

很好，我们就只要求出一个完美消除序列就好。

先看代码，我待会再解释：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e4+10;
template<typename T> void qread(T &x){x=0; int f=1; char c=getchar();for(; !isdigit(c); c=getchar()) if(c=='-') f=-1;for(; isdigit(c); c=getchar()) x=x*10+(c-'0');x*=f;
} 
int lab[N], p[N], n;
bool v[N], mp[N][N];
void solve(){memset(lab, 0, sizeof(lab));memset(v, 0, sizeof(v));for(int i=n; i>=1; i--){int t=0;for(int j=1; j<=n; j++){if(!v[j] && ((t==0) || (lab[j]>lab[t])))t=j;}v[t]=1; p[i]=t;for(int j=1; j<=n; j++){if((v[j]==0) && (mp[t][j]==1))lab[j]++;}}
}
int main(){int m; qread(n); qread(m);for(int i=1; i<=m; i++){int x, y; qread(x); qread(y);mp[x][y]=mp[y][x]=1;} solve();int ans=0;for(int i=1; i<=n; i++)ans=max(ans, lab[i]+1);printf("%d\n", ans);return 0;
}

别急，我知道你要问什么：

solve()
for(int i=n; i>=1; i--)

这里为什么要倒着遍历？

其实这段代码的算法叫MCS（最大势搜索），代码中的 lab 数组就是各个点的“势”。

lab[i] 代表在当前求出的完美消除序列中，

在点 i 后面且是点 i 邻点的点的数量，也就是能和点 i 组成团的点数。

最后取答案的时候 lab 加 1，就是因为团的点数量不光包含后续邻点，还有点 i 自己。

而 solve 函数是为了求出倒序的完美消除序列，每一步都找出当前图中最大势的点。

最大势点是与已选的点连边最多的点，这样一步步选下来，

会发现（最后一个选的点）完美消除序列的最开始的点就是和所有点连边最少的点。

符合我们“拆房子要一开始先拆掉外围的点”。

那这样为什么能求出完美消除序列？

还有一开始 t 的选点，大家的 lab 都为 0，那岂不是随机选的吗？

先回答第一个问题，用反证法。

假设对于点 $x$ ，我们倒序先选了它的邻点 $y$ 和 $z$ 。

也就是 $y$ 和 $z$ 在 $x$ 的后续节点集合中，但却不相连边。

那么整张图的一部分一定长这个样子：

    z /   \
x     ...\   /y

为什么是一个环？因为如果没有环，就没理由 mcs 的时候先选 $z$ 和 $y$ 不选 $x$ 。

发现了华点：长度大于等于 $3$ 的环没有弦！不符合弦图的定义。

所以 mcs 求出的一定是完美消除序列。

再来说第二个问题，其实 mcs 一开始还真就是随机选的点。

再来看回这张图：

    A/ \B---C| /D---E

我们发现无论是选点 $B$ 这种不怎么单纯的点，

还是选点 $E$ 这种清纯小白花作为最后一个点，

都能求出完美消除序列。

（同学们自己试一下，这里我提供 $E,D,C,A,B$ 和 $A,C,B,D,E$ 作为参考）

那究竟为什么可以随便选点作为最后一个点呢？

其实这要说到弦图的定义：

弦图移除任意顶点后，剩余图仍是弦图。

反证：如果剩余图不是弦图，那就是有长度大于等于 $4$ 的环。

而那个被移除的点肯定不在环上，不然环就断了。

但我们不可能移除一个点只移除一条弦，所以剩余图是弦图。

所以无论去掉哪个点，弦图都还是弦图，肯定能求出完美消除序列。

也就是可以随便选点作为最后一个点，剩下点也还是弦图，根据归纳法，易证随便选没事。

（最后一个点可以随便选，但第一个点可不能！！拆房子只能从外拆，第一个点必须是单纯点）

接下来上带注释的豪华版代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e4+10;
template<typename T> void qread(T &x){x=0; int f=1; char c=getchar();for(; !isdigit(c); c=getchar()) if(c=='-') f=-1;for(; isdigit(c); c=getchar()) x=x*10+(c-'0');x*=f;
} 
int lab[N], p[N], n; //lab数组存点的势，p数组存完美消除序列 
bool v[N], mp[N][N]; //v标记点是否被选进序列，mp是邻接表 
void solve(){memset(lab, 0, sizeof(lab));memset(v, 0, sizeof(v));for(int i=n; i>=1; i--){int t=0;for(int j=1; j<=n; j++){if(!v[j] && ((t==0) || (lab[j]>lab[t]))) t=j;//选出没进过序列且势最大的点 }v[t]=1; p[i]=t;  //标记，进序列 for(int j=1; j<=n; j++){if((v[j]==0) && (mp[t][j]==1))lab[j]++; //邻点加势 }}
}
int main(){int m; qread(n); qread(m);for(int i=1; i<=m; i++){int x, y; qread(x); qread(y);mp[x][y]=mp[y][x]=1;} solve();int ans=0;for(int i=1; i<=n; i++)ans=max(ans, lab[i]+1); //求后续邻点组成的最大团，别忘了加上点 i printf("%d\n", ans);return 0;
}

还有另一种时间复杂度更小的做法，本质理论是一样的 mcs。

因为每次 lab 只加 $1$ ，数据范围也不大，可以考虑造个桶，不同的 lab 值放不同的格子。

建个双向链表，桶里格子的每个节点都有 pre 和 next（前仆和后继）。

多开 n 个节点代表每个格子的头节点，头节点不存东西，

只是每次查找的时候看看头节点的 next 有没有值，来判断这个格子里有没有节点。

每次插入的时候将节点 x 插到格子的最前面。

光这么说有点空，直接看代码反而更好理解。

线性时间复杂度的代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<typename T> void qread(T &x){x=0; int f=1; char c=getchar();for(; !isdigit(c); c=getchar()) if(c=='-') f=-1;for(; isdigit(c); c=getchar()) x=x*10+(c-'0');x*=f;
} 
const int N=1e4+10;
int pre[2*N], nxt[2*N];
bool v[N];
int p[N], lab[N];
vector<int> G[N];
void push(int x){pre[nxt[x]=nxt[N+lab[x]]]=x; // x的下一个为原先第一个节点，原先第一个的上一个为 x nxt[pre[x]=N+lab[x]]=x; //x 的上一个为头节点，头节点的下一个为 x 
}
void del(int x){pre[nxt[x]]=pre[x];nxt[pre[x]]=nxt[x];
}
int main(){int n, m; qread(n); qread(m);for(int i=1; i<=m; i++){int x, y; qread(x); qread(y);G[x].push_back(y);G[y].push_back(x);}for(int i=1; i<=n; i++) push(i);int now=0, ans=0; // now就是当前遍历到哪一个 lab值 memset(v, 0, sizeof(v));memset(lab, 0, sizeof(lab));for(int i=n; i>=1; i--, now++){while(nxt[N+now]==0) now--; //等于 0就是这个格子里没东西 int x=nxt[N+now];del(x);p[i]=x; v[x]=1; //存进完美消除数组里 int sum=0; //统计团大小 for(int y: G[x]){if(!v[y]){ // y没遍历过，因为是倒序，所以 y是 x的后续相邻节点 del(y);lab[y]++;push(y);}else ++sum;}ans=max(ans, sum+1); //求团大小别忘了 x本身 }printf("%d\n", ans);return 0;
}

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http://www.xdnf.cn/news/1289701.html