一阶偏微分方程特征线与解分析

题目

问题 1.
(a) 绘制特征线并求出下列各方程的通解：
$$2u_t+3u_x=0;u_t+t{u}_x=0;$$
$$u_t-t{u}_x=0;u_t+t^2{u}_x=0;$$
$$u_t+x{u}_x=0;u_t+tx{u}_x=0;$$
$$u_t+x^2{u}_x=0;u_t+(x^2+1)u_x=0;$$
$$u_t+(t^2+1)u_x=0;(x+1)u_t+u_x=0;$$
$$(x+1{)}^2{u}_t+u_x=0;(x^2+1)u_t+u_x=0;$$
$$(x^2-1)u_t+u_x=0.$$

(b) 考虑初值问题（IVP）$$u{|}_{t=0}=f(x)$$，其中 $$-\infty <x<\infty$$；解是否总是存在？如果不存在，$$f(x)$$ 应满足什么条件？分别考虑 $$t>0$$ 和 $$t<0$$。

© 在哪些区域解是唯一确定的？分别考虑 $$t>0$$ 和 $$t<0$$。

(d) 在区域 { t > 0 , x > 0 } \{t > 0, x > 0\} {t>0,x>0} 中考虑该方程，初始条件为 $$u{|}_{t=0}=f(x)$$（其中 $$x>0$$）；解在哪些区域有定义？它是否在整个 { t > 0 , x > 0 } \{t > 0, x > 0\} {t>0,x>0} 有定义，还是需要在 $$x=0$$ 处施加边界条件？若是后者，施加条件 $$u{|}_{x=0}=g(t)$$（$$t>0$$）并求解此初值边值问题（IVBP）。

(e) 在区域 { t > 0 , x < 0 } \{t > 0, x < 0\} {t>0,x<0} 中考虑该方程，初始条件为 $$u{|}_{t=0}=f(x)$$（其中 $$x<0$$）；解在哪些区域有定义？它是否在整个 { t > 0 , x < 0 } \{t > 0, x < 0\} {t>0,x<0} 有定义，还是需要在 $$x=0$$ 处施加边界条件？若是后者，施加条件 $$u{|}_{x=0}=g(t)$$（$$t>0$$）并求解此初值边值问题（IVBP）。

(f) 考虑问题 (d) 当 $$t<0$$ 时的情况。

(g) 考虑问题 (e) 当 $$t<0$$ 时的情况。

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解决题目

以下将逐步解决问题。由于问题涉及多个方程，且部分 (b) 到 (g) 是通用性问题，我将首先完成部分 (a)，为所有方程提供特征线和通解。对于部分 (b) 到 (g)，由于问题针对一般一阶线性偏微分方程，但特性取决于具体方程，我将选择代表性方程 $$u_t+x{u}_x=0$$（即列表中的第 5 个方程）进行详细解答，因为它具有变系数且在 $$x=0$$ 处有奇点，能充分展示各种情况。其他方程的处理类似，取决于特征线的行为。

(a) 绘制特征线并求通解

一阶线性偏微分方程 $$a{u}_t+b{u}_x=0$$ 的通解可通过特征线法求解。特征线由 $$\frac{dx}{dt}=\frac{b}{a}$$ 定义，解沿特征线为常数。通解形式为 $$u(x,t)=F(\varphi (x,t))$$，其中 $$\varphi (x,t)=\text{constant}$$ 是特征方程的解，$$F$$ 是任意可微函数。以下是每个方程的特征线和通解：

1. 方程： $$2u_t+3u_x=0$$

   • 特征线：$$\frac{dx}{dt}=\frac{3}{2}$$，解得 $$x-\frac{3}{2}t=c$$（直线）。
   • 通解：$$u(x,t)=F\left(x-\frac{3}{2}t\right)$$。

2. 方程： $$u_t+t{u}_x=0$$

   • 特征线：$$\frac{dx}{dt}=t$$，解得 $$x-\frac{1}{2}{t}^2=c$$（抛物线）。
   • 通解：$$u(x,t)=F\left(x-\frac{1}{2}{t}^2\right)$$。

3. 方程： $$u_t-t{u}_x=0$$

   • 特征线：$$\frac{dx}{dt}=-t$$，解得 $$x+\frac{1}{2}{t}^2=c$$（抛物线）。
   • 通解：$$u(x,t)=F\left(x+\frac{1}{2}{t}^2\right)$$。

4. 方程： $$u_t+t^2{u}_x=0$$

   • 特征线：$$\frac{dx}{dt}=t^2$$，解得 $$x-\frac{1}{3}{t}^3=c$$（三次曲线）。
   • 通解：$$u(x,t)=F\left(x-\frac{1}{3}{t}^3\right)$$。

5. 方程： $$u_t+x{u}_x=0$$

   • 特征线：$$\frac{dx}{dt}=x$$，解得 $$\ln |x|=t+c$$ 或 $$x{e}^{-t}=c$$（指数曲线；$$x=0$$ 是奇点）。
   • 通解：$$u(x,t)=F(x{e}^{-t})$$（假设 $$x\ne 0$$）。

6. 方程： $$u_t+tx{u}_x=0$$

   • 特征线：$$\frac{dx}{dt}=tx$$，解得 $$\ln |x|=\frac{1}{2}{t}^2+c$$ 或 $$x{e}^{-\frac{1}{2}{t}^2}=c$$（高斯型曲线）。
   • 通解：$$u(x,t)=F\left(x{e}^{-\frac{1}{2}{t}^2}\right)$$。

7. 方程： $$u_t+x^2{u}_x=0$$

   • 特征线：$$\frac{dx}{dt}=x^2$$，解得 $$-\frac{1}{x}=t+c$$ 或 $$t+\frac{1}{x}=c$$（双曲线；$$x=0$$ 是奇点）。
   • 通解：$$u(x,t)=F\left(t+\frac{1}{x}\right)$$。

8. 方程： $$u_t+(x^2+1)u_x=0$$

   • 特征线：$$\frac{dx}{dt}=x^2+1$$，解得 $$\arctan x=t+c$$（反正切曲线）。
   • 通解：$$u(x,t)=F(\arctan x-t)$$。

9. 方程： $$u_t+(t^2+1)u_x=0$$

   • 特征线：$$\frac{dx}{dt}=t^2+1$$，解得 $$x-\frac{1}{3}{t}^3-t=c$$（三次曲线）。
   • 通解：$$u(x,t)=F\left(x-\frac{1}{3}{t}^3-t\right)$$。

10. 方程： $$(x+1)u_t+u_x=0$$

    • 特征线：$$\frac{dx}{dt}=\frac{1}{x+1}$$，解得 $$\frac{1}{2}(x+1{)}^2=t+c$$（抛物线；$$x=-1$$ 是奇点）。
    • 通解：$$u(x,t)=F\left(\frac{1}{2}(x+1{)}^2-t\right)$$。

11. 方程： $$(x+1{)}^2{u}_t+u_x=0$$

    • 特征线：$$\frac{dx}{dt}=\frac{1}{(x+1{)}^2}$$，解得 $$\frac{1}{3}(x+1{)}^3=t+c$$（三次曲线；$$x=-1$$ 是奇点）。
    • 通解：$$u(x,t)=F\left(\frac{1}{3}(x+1{)}^3-t\right)$$。

12. 方程： $$(x^2+1)u_t+u_x=0$$

    • 特征线：$$\frac{dx}{dt}=\frac{1}{x^2+1}$$，解得 $$t=\frac{1}{3}{x}^3+x+c$$ 或 $$t-\frac{1}{3}{x}^3-x=c$$（三次曲线）。
    • 通解：$$u(x,t)=F\left(t-\frac{1}{3}{x}^3-x\right)$$。

13. 方程： $$(x^2-1)u_t+u_x=0$$

    • 特征线：$$\frac{dx}{dt}=\frac{1}{x^2-1}$$，解得 $$t=\frac{1}{3}{x}^3-x+c$$ 或 $$t-\frac{1}{3}{x}^3+x=c$$（三次曲线；$$x=\pm 1$$ 是奇点）。
    • 通解：$$u(x,t)=F\left(t-\frac{1}{3}{x}^3+x\right)$$（定义域需排除 $$x=\pm 1$$）。

特征线绘制说明： 每个方程的特征线已在上文描述（如直线、抛物线、指数曲线等）。在 $$x-t$$ 平面上，特征线是曲线族，解沿每条特征线为常数。绘图时需注意奇点（如 $$x=0$$ 或 $$x=\pm 1$$），这些点特征线可能不定义或需特殊处理。

(b) 到 (g) 的解答：以方程 $$u_t+x{u}_x=0$$ 为例

选择方程 $$u_t+x{u}_x=0$$ 进行详细解答，因为它具有典型性（系数依赖空间变量 $$x$$，且在 $$x=0$$ 有奇点）。通解为：
$$u(x,t)=f(x{e}^{-t}),$$
其中 $$f$$ 是任意函数，由初始条件确定。初始条件为 $$u{|}_{t=0}=f(x)$$，代入 $$t=0$$ 得 $$u(x,0)=f(x)$$, 与通解一致。

(b) 解的存在性及 $$f(x)$$ 的条件（考虑 $$t>0$$ 和 $$t<0$$）

• 解的存在性： 解总是存在，且对任意 $$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$$ 定义良好。
  • 当 $$t>0$$：$$u(x,t)=f(x{e}^{-t})$$，其中 $$x{e}^{-t}\in \mathbb{R}$$（因为 $$e^{-t}>0$$），且函数复合无奇点。
  • 当 $$t<0$$：令 $$s=-t>0$$，则 $$u(x,t)=f(x{e}^{-t})=f(x{e}^s)$$，同样 $$x{e}^s\in \mathbb{R}$$，无奇点。
• 条件： 无额外条件要求；$$f$$ 可以是任何函数（如连续、可微等），但解的光滑性取决于 $$f$$ 的光滑性。

解释： 特征线 $$x{e}^{-t}=c$$ 覆盖整个 $$x-t$$ 平面，且初始线 $$t=0$$ 与所有特征线相交，因此解处处存在。

© 解的唯一确定性区域（考虑 $$t>0$$ 和 $$t<0$$）

• 解在整个平面 $$-\infty <x<\infty$$，$$-\infty <t<\infty$$ 唯一确定。
  • 当 $$t>0$$： 任意点 $$(x,t)$$ 的特征线为 $$x{e}^{-t}=c$$，当 $$t=0$$ 时对应点 $$(c,0)$$。初始条件 $$u(c,0)=f(c)$$ 唯一确定该特征线上的解值，因此解在 $$t>0$$ 唯一。
  • 当 $$t<0$$： 类似地，特征线回溯到 $$t=0$$ 的点 $$(x{e}^{|t|},0)$$，初始条件唯一确定解值，因此解在 $$t<0$$ 唯一。

解释： 特征线从初始线 $$t=0$$ 发出并覆盖整个平面，且每条特征线唯一由初始条件决定，无交叉或缺失区域。

(d) 在 { t > 0 , x > 0 } \{t > 0, x > 0\} {t>0,x>0} 的 IVP，初始条件 $$u{|}_{t=0}=f(x)$$（$$x>0$$）

• 解的定义区域： 解在整个区域 { t > 0 , x > 0 } \{t > 0, x > 0\} {t>0,x>0} 有定义，且不需要在 $$x=0$$ 施加边界条件。
  • 通解：$$u(x,t)=f(x{e}^{-t})$$。
  • 当 $$x>0$$, $$t>0$$ 时，$$x{e}^{-t}>0$$，且 $$f$$ 定义在 $$x>0$$，因此 $$u(x,t)$$ 定义良好。
• 是否需要边界条件： 不需要。区域 { t > 0 , x > 0 } \{t > 0, x > 0\} {t>0,x>0} 是开集，边界 $$x=0$$ 不属于该区域。特征线 $$x=c{e}^t$$（$$c>0$$) 从初始点 $$(c,0)$$（$$c>0$$) 发出，覆盖整个区域，每个点 $$(x,t)$$ 的特征线都回溯到 $$t=0$$, $$x>0$$ 的某点，因此初始条件已唯一确定解。

IVBP 求解（若需边界条件）： 问题中询问是否需要施加条件 $$u{|}_{x=0}=g(t)$$（$$t>0$$）。但在此方程下，不需要。为完整性，假设施加条件：

• 边界条件：$$u(0,t)=g(t)$$ for $$t>0$$。
• 在 $$x=0$$，方程简化为 $$u_t=0$$（因为系数 $$x=0$$），故 $$u(0,t)=\text{constant}$$。但 $$g(t)$$ 可能非常数，这可能导致不一致（除非 $$g(t)$$ 为常数）。
• 通解在 $$x>0$$ 为 $$u(x,t)=f(x{e}^{-t})$$，在 $$x=0$$ 为 $$u(0,t)=g(t)$$。但沿特征线 $$x=0$$，解应为常数，因此需 $$g(t)=\text{constant}$$，且与初始条件协调（例如 $$g(0)=f(0)$$，但 $$f$$ 定义在 $$x>0$$，可能无定义）。实践中，由于区域开集，边界条件非必要。

(e) 在 { t > 0 , x < 0 } \{t > 0, x < 0\} {t>0,x<0} 的 IVP，初始条件 $$u{|}_{t=0}=f(x)$$（$$x<0$$）

• 解的定义区域： 解在整个区域 { t > 0 , x < 0 } \{t > 0, x < 0\} {t>0,x<0} 有定义，且不需要在 $$x=0$$ 施加边界条件。
  • 通解：$$u(x,t)=f(x{e}^{-t})$$。
  • 当 $$x<0$$, $$t>0$$ 时，$$x{e}^{-t}<0$$，且 $$f$$ 定义在 $$x<0$$，因此 $$u(x,t)$$ 定义良好。
• 是否需要边界条件： 不需要。特征线 $$x=c{e}^t$$（$$c<0$$) 从初始点 $$(c,0)$$（$$c<0$$) 发出，覆盖整个区域，初始条件已足够。

IVBP 求解（若需边界条件）： 类似 (d)，不需要施加 $$u{|}_{x=0}=g(t)$$。若施加，会面临同样问题（在 $$x=0$$ 解应常数）。

(f) 问题 (d) 当 $$t<0$$（即在 { t < 0 , x > 0 } \{t < 0, x > 0\} {t<0,x>0}，初始条件 $$u{|}_{t=0}=f(x)$$（$$x>0$$）

• 解的定义区域： 解在整个区域 { t < 0 , x > 0 } \{t < 0, x > 0\} {t<0,x>0} 有定义，且不需要在 $$x=0$$ 施加边界条件。
  • 通解：$$u(x,t)=f(x{e}^{-t})$$。
  • 当 $$x>0$$, $$t<0$$ 时，令 $$s=-t>0$$，则 $$x{e}^{-t}=x{e}^s>0$$，因此 $$u(x,t)$$ 定义良好。
• 解释： 特征线 $$x=c{e}^t$$（$$c>0$$) 当 $$t<0$$ 时仍从 $$(c,0)$$（$$c>0$$) 发出，且 $$e^t>0$$，因此每个点 $$(x,t)$$ 的特征线回溯到 $$t=0$$, $$x>0$$ 的某点。

(g) 问题 (e) 当 $$t<0$$（即在 { t < 0 , x < 0 } \{t < 0, x < 0\} {t<0,x<0}，初始条件 $$u{|}_{t=0}=f(x)$$（$$x<0$$）

• 解的定义区域： 解在整个区域 { t < 0 , x < 0 } \{t < 0, x < 0\} {t<0,x<0} 有定义，且不需要在 $$x=0$$ 施加边界条件。
  • 通解：$$u(x,t)=f(x{e}^{-t})$$。
  • 当 $$x<0$$, $$t<0$$ 时，$$x{e}^{-t}<0$$（因为 $$e^{-t}>1>0$$)，因此 $$u(x,t)$$ 定义良好。
• 解释： 特征线 $$x=c{e}^t$$（$$c<0$$) 覆盖整个区域，回溯到初始点。

总结： 对于方程 $$u_t+x{u}_x=0$$，解在所有给定区域全局存在且唯一，无需额外边界条件，因为特征线从初始线完整覆盖区域，且无奇点影响（尽管 $$x=0$$ 是系数奇点，但在开区域内部不影响解的定义）。

对其他方程的说明： 其他方程可能需不同处理。例如：

• 对于 $$u_t+x^2{u}_x=0$$，通解 $$u=f\left(\frac{x}{1+xt}\right)$$，在 $$1+xt=0$$（即 $$x=-1/t$$) 有奇点，解不全局存在。
• 对于 $$(x^2-1)u_t+u_x=0$$，在 $$x=\pm 1$$ 有奇点，需在这些点附近施加条件。
  处理时需分析特征线是否覆盖区域、是否有奇点或特征线不相交初始线的情况。