【分析学】 从确界定理出发——实数系完备定理

0. 引子

实数系的完备性七大定理是数学分析中描述实数连续性的核心命题，它们从不同角度刻画了实数集的无“空隙”特性，并彼此等价。然而往往数学分析教材中往往使用回路的方法进行七大定理的互推来证明等价性，这无疑是最方便的方法，但这份方便使得学生对分析学语言的灵活运用却并不理解。这篇博文围绕确界定理为出发点证明其他定理。证明思路可以总结为

Step1: 给出要证定理 A 的条件
Step2: 构造确界定理的条件
Step3：利用确界定理的结论证明定理A的结果

其中开覆盖定理与其他定理不同，通常使用反证法。

1. 确界原理（上/下确界存在定理）

内容：任何非空有上界（或下界）的实数集必存在唯一的上确界（或下确界）。
上确界定义： sup ⁡ S = { a ∣ ∀ b ∈ S ⇒ a ≤ b } ∩ { a ∣ ∀ δ > 0 , ∃ a ∈ S ⇒ a + δ > b } \sup S=\{a| \forall b\in S \Rightarrow a\leq b\} \cap \{a| \forall \delta>0,\exists a\in S \Rightarrow a+\delta> b \} supS={a∣∀b∈S⇒a≤b}∩{a∣∀δ>0,∃a∈S⇒a+δ>b}
下确界定义： inf ⁡ S = { a ∣ ∀ b ∈ S ⇒ a ≥ b } ∩ { a ∣ ∀ δ > 0 , ∃ a ∈ S ⇒ a − δ < b } \inf S=\{a| \forall b\in S \Rightarrow a\geq b\} \cap \{a| \forall \delta>0,\exists a\in S \Rightarrow a-\delta< b \} infS={a∣∀b∈S⇒a≥b}∩{a∣∀δ>0,∃a∈S⇒a−δ<b}
证明见：【分析学】 实数

2. 单调有界定理

内容：单调递增（减）且有上界（下界）的数列必收敛。

情况1：单调递增且有上界的数列
设数列 { a n } \{a_n\} {an​} 满足：

• 单调递增：$a_1\le a_2\le \cdots \le a_n\le \cdots$
• 有上界：存在 $M\in \mathbb{R}$，使得 $a_n\le M$ 对所有 $n$ 成立。

证明步骤：

1. 构造集合：令 S = { a n ∣ n ∈ N } S = \{a_n \mid n \in \mathbb{N}\} S={an​∣n∈N}，即数列所有项构成的集合。由于 { a n } \{a_n\} {an​} 有上界，$S$ 是非空且有上界的实数集。
2. 应用确界定理：由确界定理，$S$ 存在唯一的上确界 $\alpha =\sup S$。
3. 证明数列收敛于 $\alpha$：
   • 由上确界定义，对任意 $ϵ>0$，存在 $N\in \mathbb{N}$，使得 $\alpha -ϵ<a_N\le \alpha$。
   • 由于 { a n } \{a_n\} {an​} 单调递增，当 $n\ge N$ 时，有 $a_N\le a_n\le \alpha$。
   • 因此，对任意 $n\ge N$，有 $|\alpha -a_n|<ϵ$，即 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=\alpha$。

结论：单调递增且有上界的数列收敛于其上确界。

情况2：单调递减且有下界的数列
证明与情况1类似。

3. 闭区间套定理（柯西-康托尔定理）

内容：若一列闭区间 $[a_n,b_n]$ 满足 $[a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq [a_n,b_n]$ 且 ${\lim }_{n\to \infty }(b_n-a_n)=0$，则存在唯一的实数属于所有闭区间。 这样的闭区间序列 $[a_n,b_n]$ 称为闭区间套。
意义：通过区间套的“收缩”性质，证明实数集的连续性，例如构造实数 $\sqrt{2}$。
证明步骤
(1) 构造集合并应用确界定理

• 令 S = { a n ∣ n ∈ N } S = \{ a_n \mid n \in \mathbb{N} \} S={an​∣n∈N}，即所有左端点构成的集合。
• 由于 $\{[a_n,b_n]\}$ 是闭区间套，$S$ 是非空且有上界的（例如，任意 $b_n$ 都是 $S$ 的上界）。
• 由确界定理，$S$ 存在上确界，记作 $\xi =\sup S$。

(2) 证明 $\xi \in [a_n,b_n]$ 对所有 $n$ 成立

• $\xi$ 是 $S$ 的上确界，因此：
  • 对任意 $n$，$a_n\le \xi$（因为 $\xi$ 是 $S$ 的上界）。
  • 同时，由于 $b_n$ 也是 $S$ 的上界，而 $\xi$ 是最小的上界，故 $\xi \le b_n$。
• 因此，$\xi \in [a_n,b_n]$ 对所有 $n$ 成立。

(3) 证明 $\xi$ 的唯一性
假设存在另一个 ${\xi }^{\prime }\in {\bigcap }_{n=1}^{\infty }[a_n,b_n]$，则：

• 由于 $\xi ,{\xi }^{\prime }\in [a_n,b_n]$，有 $|\xi -{\xi }^{\prime }|\le b_n-a_n$。
• 由 ${\lim }_{n\to \infty }(b_n-a_n)=0$，可得 $|\xi -{\xi }^{\prime }|=0$，即 $\xi ={\xi }^{\prime }$。

4. 有限覆盖定理（海涅-博雷尔定理）反证法

内容：闭区间 $[a,b]$ 的任意开覆盖（无限个开区间的并覆盖 $[a,b]$）必存在有限子覆盖。 ****
证明步骤：

有限开覆盖定理（Heine-Borel 定理）表明，实数的闭区间 $[a,b]$ 是紧的，即每个开覆盖都有有限子覆盖。我们可以使用确界定理来证明这一点。

1. 设定开覆盖：
   设 { U i } i ∈ I \{U_i\}_{i \in I} {Ui​}i∈I​ 是一个开覆盖，即 $[a,b]\subseteq {\bigcup }_{i\in I}{U}_i$, 称 ${\bigcup }_{i\in I}{U}_i$为 闭区间$[a,b]$ 的一个开覆盖 。这意味着区间 $[a,b]$ 中的每一点都在某个开集 $U_i$ 中。

2. 定义覆盖的性质：
   对于区间 $[a,b]$，我们可以定义一个集合：
   S = { x ∈ [ a , b ] ∣ 存在有限个  U i 1 , U i 2 , … , U i n 使得  x ∈ U i 1 ∪ U i 2 ∪ … ∪ U i n } S = \{ x \in [a, b] \mid \text{存在有限个 } U_{i_1}, U_{i_2}, \ldots, U_{i_n} \text{ 使得 } x \in U_{i_1} \cup U_{i_2} \cup \ldots \cup U_{i_n} \} S={x∈[a,b]∣存在有限个 Ui1​​,Ui2​​,…,Uin​​ 使得 x∈Ui1​​∪Ui2​​∪…∪Uin​​}
   这个集合 $S$ 包含了所有可以被有限个开集覆盖的点。

3. 确定集合的上界：
   由于 $S$ 是 $[a,b]$ 的子集，且 $[a,b]$ 是有界的，$S$ 也有上界。因此，$S$ 的确界（上确界）存在，记为 $c=\sup S$。

4. 考虑 $c$ 的性质：
   我们需要证明 $c$ 必须在某个开集 $U_i$ 中。假设 $c\in [a,b]$ 但不在任何开集 $U_i$ 中。由于每个 $U_i$ 是开集，存在一个 $ϵ>0$ 使得 $(c-ϵ,c+ϵ)\subseteq U_i$ 对于某个 $i$。

5. 分析 $c-ϵ$：
   由于 $c$ 是 $S$ 的上确界，$c-ϵ$ 必须在 $S$ 中（因为如果 $c-ϵ\notin S$，则 $c$ 不可能是 $S$ 的上确界）。根据 $S$ 的定义，存在有限个开集 $U_{j_1},U_{j_2},\dots ,U_{j_k}$ 使得 $c-ϵ\in U_{j_1}\cup U_{j_2}\cup \dots \cup U_{j_k}$。

6. 覆盖 $c$：
   由于 $c-ϵ<c<c+ϵ$，因此 $c$ 也应该被这些开集覆盖。特别地，至少存在一个 $U_{j_m}$（假设是 $U_{j_1}$）使得 $c-ϵ<c$，并且 $c$ 也应该在 $U_{j_1}$ 中，这与我们假设 $c$ 不在任何 $U_i$ 中矛盾。

结论：
所以，$c$ 必须在某个开集 $U_i$ 中，这意味着 $S$ 是一个非空的开集，因此 $S$ 包含了 $[a,b]$ 中的所有点。由此，我们可以得出结论：$[a,b]$ 的每个开覆盖都有有限子覆盖。
因此，闭区间 $[a,b]$ 是紧的，有限开覆盖定理得证。

5. 聚点定理（波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理）

内容：实数系中的有界无限点集至少有一个聚点（即存在点使得任意邻域内包含集合的无限多个点）。

证明步骤：

1. 设定有界序列：
   设 $(x_n)$ 是一个有界序列，即存在常数 $M$ 使得对于所有的 $n$，都有 $|x_n|\le M$。因此，序列的所有项都落在某个闭区间 $[-M,M]$ 内。

2. 考虑序列的确界：
   由于序列 $(x_n)$ 是有界的，定义集合：
   S = { x n ∣ n ∈ N } S = \{ x_n \mid n \in \mathbb{N} \} S={xn​∣n∈N}
   这个集合 $S$ 是有界的，因此它的确界（上确界）存在，记为 $L=\sup S$。

3. 分析 $L$ 的性质：
   我们需要考虑 $L$ 的性质。由于 $L$ 是 $S$ 的上确界，所以对于任意的 $ϵ>0$，存在某个 $x_{n_k}\in S$ 使得：
   $$L-ϵ<x_{n_k}\le L$$
   这意味着序列中存在项 $x_{n_k}$ 趋近于 $L$。

4. 构造下确界：
   同样地，可以考虑 $L$ 的邻域 $ (L - \epsilon, L] $。由于 $L$ 是上确界，存在无限多个 $x_n$ 落在这个区间内。我们可以从中选取一个子序列 $(x_{n_k})$，使得每个 $x_{n_k}$ 都满足：
   $$L-ϵ<x_{n_k}\le L$$

5. 收敛性：
   由于我们可以让 $ϵ$ 变得任意小，实际上我们可以选择一个子序列 $(x_{n_k})$，使得对于任意的 $ϵ>0$，存在足够大的 $k$ 使得：
   $$L-ϵ<x_{n_k}<L$$
   这表明子序列 $(x_{n_k})$ 收敛于 $L$。

6. 致密性定理（列紧性定理）

内容：有界数列必存在收敛子列。
与聚点定理的关系：本质相同，但表述形式不同（点集 vs. 数列）。

7. 柯西收敛准则

内容：数列收敛的充要条件是其为柯西列（即 $\forall ϵ>0,\exists N,\forall m,n\ge N,|a_m-a_n|<ϵ$）。
意义：无需预先知道极限值即可判断收敛性，如证明调和级数的部分和数列发散。

证明步骤：

1. 构造集合并证明有界性
   设数列 { a n } \{a_n\} {an​} 满足柯西条件。取 $\epsilon =1$，存在 $N$ 使得对所有 $n\ge N$，有 $|a_n-a_N|<1$。因此，对于 $n\ge N$，有 $a_n\in (a_N-1,a_N+1)$。令
   S = { a n ∣ n ≥ N } , S = \{a_n \mid n \geq N\}, S={an​∣n≥N},
   则 $S$ 是有界集合。进一步，整个数列 { a n } \{a_n\} {an​} 也是有界的，因为前 $N-1$ 项是有限的。

2. 定义数集并应用确界定理
   定义集合
   T = { x ∈ R ∣ 存在无限多个  a n 满足  a n ≥ x } = { x ∈ R ∣ ∀ N ≥ 1 , ∃ n ≥ N , a n ≥ x } . T = \{x \in \mathbb{R} \mid \text{存在无限多个 } a_n \text{ 满足 } a_n \geq x\}=\{x \in \mathbb{R} \mid \forall N\geq 1, \exists n\geq N, a_n \geq x\}. T={x∈R∣存在无限多个 an​ 满足 an​≥x}={x∈R∣∀N≥1,∃n≥N,an​≥x}.

   • $T$ 是非空的，因为 $S$ 的下界属于 $T$。
   • $T$ 有上界，因为 $S$ 有上界。
     由确界定理，$T$ 存在上确界，记为 $\xi =\sup T$。

3. 证明 $\xi$ 是数列的极限

   • 对于任意 $\epsilon >0$，由于 { a n } \{a_n\} {an​} 是柯西列，存在 $N$ 使得对所有 $m,n\ge N$，有 $|a_m-a_n|<\epsilon /2$。
   • 由于 $\xi$ 是 $T$ 的上确界，存在 $x\in T$ 使得 $\xi -\epsilon /2<x\le \xi$。由于 $x\in T$，存在无限多个 $a_n\ge x$。
   • 结合柯西条件，可以证明对于所有 $n\ge N$，有 $|a_n-\xi |<\epsilon$。

结论：
因此，数列 { a n } \{a_n\} {an​} 收敛于 $\xi$，证明了柯西收敛定理的充分性。