MIT线性代数第三讲笔记

视频链接
https://www.youtube.com/watch?v=FX4C-JpTFgY

3.1 矩阵乘法

以$A\ast B=C$为例，其中 矩阵A 是 $m\ast n$ ,矩阵B是$n\ast p$,矩阵C则是$m\ast p$

1. 单个元素

   求矩阵C中的每一个元素，公式如下：

   $$c_{ij}=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}\ast b_{kj}$$

2. 整列

   将矩阵C按照列考虑，矩阵C如下：

   $$\left[\begin{array}{cccc}co{l}_{c1}& co{l}_{c2}& co{l}_{c3}& ...\end{array}\right]$$

   那么矩阵C中每一列就是用矩阵A乘以对应的矩阵B中一列，公式如下：

   $$co{l}_{ci}=A\ast co{l}_{bi}$$

3. 整行

   将矩阵C按照行考虑，矩阵C如下：

   $$\left[\begin{array}{c}ro{w}_{c1}\\ ro{w}_{c2}\\ ro{w}_{c3}\\ ...\end{array}\right]$$

   那么矩阵C中每一行就是用矩阵A中对应的行乘以矩阵B，公式如下：

   $$ro{w}_{ci}=ro{w}_{ai}\ast B$$

4. 行×列

   用矩阵A的行乘以矩阵B的列，得到多个矩阵，再将多个矩阵相加就得到矩阵C，公式如下：

   $$C=\sum _{k=1}^{m}ro{w}_{ak}\ast co{l}_{bk}$$

5. 分块相乘

   将每个矩阵分块，得到如下方程：

   $$\underset{\text{A}}{\left[\begin{array}{cc}{A}_1& A2\\ A_3& A_4\end{array}\right]}\ast \underset{\text{B}}{\left[\begin{array}{cc}{B}_1& B_2\\ B_3& B_4\end{array}\right]}=\underset{\text{C}}{\left[\begin{array}{cc}{C}_1& C_2\\ C_3& C_4\end{array}\right]}$$

   此时，分块矩阵C中每一块矩阵计算公式如下：

   $$C_i=A_1\ast B_1+A_2\ast B_3$$

3.2 矩阵的逆

1. 逆矩阵：

   矩阵A乘以矩阵B等于单位矩阵I，就称矩阵B为矩阵A的逆矩阵，记作$A^{-1}$，如果A为方阵，$A^{-1}$左乘或者右乘都成立

$$A^{-1}\ast A=I=A\ast A^{-1}$$

2. 奇异矩阵：

   若矩阵A乘以非零向量X等于零，则称矩阵A为奇异矩阵，此矩阵就没有逆矩阵

3.3 求解逆矩阵

$$\underset{\text{A}}{\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 7\end{array}\right]}\ast \underset{A^{-1}}{\left[\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right]}=\underset{\text{C}}{\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]}$$

1. 方法一：

   分别求解下面两个矩阵乘法
   $$\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 7\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 7\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$$

2. 方法二：

   将矩阵A和单位矩阵I 写成一个长的矩阵$\left[\begin{array}{ccc}A& |& I\end{array}\right]$，记作D，用消元法将，将D中的前半部分A变换为单位矩阵I，这样矩阵D就会变为$\left[\begin{array}{ccc}I& |& ?\end{array}\right]$,得到的后半部分就是矩阵A的逆$A^{-1}$
   $$\left[\begin{array}{ccccc}1& 3& |& 1& 0\\ 2& 7& |& 0& 1\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccccc}1& 0& |& 7& -3\\ 0& 1& |& -2& 1\end{array}\right]$$
   根据之前的学的，消元法就像左乘一个矩阵E
   $$E\ast \left[\begin{array}{ccc}A& |& I\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}I& |& A^{-1}\end{array}\right]$$
   可以看出来$E\ast A=I$,所以$E=A^{-1}$