实数完备性定理互证2

实数完备性定理互证1

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4 Cantor闭区间套定理

$\text{Definition}$ 闭区间套

如果一列闭区间 $\{[a_n,b_n]{\}}_{n\in {\mathbb{N}}^{+}}$ 满足条件：

$$[a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq [a_n,b_n{]}_{n\in {\mathbb{N}}^{+}},\underset{n\to \infty }{\lim }(b_n-a_n)=0$$

则称这列闭区间为一个闭区间套.

$\text{Theorem }$ $\text{Cantor}$ 闭区间套定理

若 $\{[a_n,b_n]\}$ 是一个闭区间套，则 $$\exists !\xi \in \bigcap _{n=1}^{\infty }[a_n,b_n],\xi =\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$$

4.1 单调有界原理

$\text{Proof:}$

存在性： 设 $\{[a_n,b_n]{\}}_{n\in {\mathbb{N}}^{+}}$ 为一列闭区间套，则有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }(b_n-a_n)=0$$

因为

$$a_1⩽\cdots ⩽a_{n-1}⩽a_n⩽\cdots ⩽b_n⩽b_{n-1}⩽\cdots ⩽b_1$$

所以 { a n } ↑ \{a_n\}\uparrow {an​}↑ 有上界， { b n } ↓ \{b_n\}\downarrow {bn​}↓ 有下界，由单调有界原理，数列收敛，即

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\xi \Rightarrow \underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }[a_n+(b_n-a_n)]=\xi$$

由极限保序性

$$a_n⩽\xi ⩽b_n(n\in {\mathbb{N}}^{+})$$

唯一性： 设另有 ${\xi }^{\prime }\in [a_n,b_n]$，则

$$0⩽|\xi -{\xi }^{\prime }|⩽|b_n-a_n|\to 0(n\to \infty )\Rightarrow \xi ={\xi }^{\prime }$$

故

$$\exists !\xi \in [a_n,b_n](n\in {\mathbb{N}}^{+})$$

4.2 确界存在原理

$\text{Proof:}$

存在性： 由闭区间套性质

$$a_1⩽\cdots ⩽a_{n-1}⩽a_n⩽\cdots ⩽b_n⩽b_{n-1}⩽\cdots ⩽b_1$$

显然数列有界，则由确界存在原理，数列 { a n } , { b n } \{a_n\},\{b_n\} {an​},{bn​} 分别存在上、下确界，记 ξ = sup ⁡ { a n } \xi=\sup\{a_n\} ξ=sup{an​}，则

$$\forall n\in {\mathbb{N}}^{+}:\xi ⩾a_n$$

又 { b n } , { a n } \{b_n\},\{a_n\} {bn​},{an​} 互为一族上、下界，故 $\forall n\in {\mathbb{N}}^{+}:\xi ⩽b_n$，于是

$$\exists \xi \in [a_n,b_n{]}_{n\in {\mathbb{N}}^{+}}$$

唯一性： 设另有 ${\xi }^{\prime }\in [a_n,b_n{]}_{n\in {\mathbb{N}}^{+}}$，则

$$\forall n\in {\mathbb{N}}^{+}:0⩽|\xi -{\xi }^{\prime }|⩽|b_n-a_n|$$

由闭区间套性质

$$\underset{n\to \infty }{\lim }|b_n-a_n|=0$$

故

$$\xi ={\xi }^{\prime },\exists !\xi \in [a_n,b_n{]}_{n\in {\mathbb{N}}^{+}}$$

4.3 柯西收敛准则

$\text{Proof:}$

存在性： 设 $\{[a_n,b_n]\}$ 为闭区间套，$m>n$，则 $a_m\in [a_n,b_n]$，且

$$0⩽a_m-a_n⩽b_n-a_n\to 0(n\to \infty )$$

于是

$$\forall \epsilon >0,\exists N\in {\mathbb{N}}^{+},s.t.\forall m>n>N:|a_m-a_n|<\epsilon$$

由 $\text{Cauchy}$ 收敛准则

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\xi$$

于是

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }[(b_n-a_n)+a_n]=\xi$$

从而

$$a_n⩽\xi ⩽b_n(n\in {\mathbb{N}}^{+})$$

唯一性： 设另有 ${\xi }^{\prime }\in [a_n,b_n]$，则

$$0⩽|\xi -{\xi }^{\prime }|⩽|b_n-a_n|\to 0(n\to \infty )\Rightarrow \xi ={\xi }^{\prime }$$

故

$$\exists !\xi \in [a_n,b_n{]}_{n\in {\mathbb{N}}^{+}}$$

4.4 致密性定理

$\text{Proof:}$

存在性： 设 $\{[a_n,b_n]\}$ 为一列闭区间套，则 { a n } \{a_n\} {an​} 单增有上界，由 $\text{Bolzano-Weierstrass}$ 定理，存在子列 { a n k } \{a_{n_k}\} {ank​​} 收敛于 $\xi$，即

$$\forall \epsilon >0,\exists N\in {\mathbb{N}}^{+},s.t.\forall n_k>N:|a_{n_k}-\xi |<\epsilon$$

必然存在 $n_k⩽n⩽n_{k+1}$，由 { a n } ↑ \{a_n\}\uparrow {an​}↑ 有

$$\xi -\epsilon <a_{n_k}⩽a_n⩽a_{n_{k+1}}<\xi +\epsilon$$

又

$$\underset{n\to \infty }{\lim }(b_n-a_n)=0\Rightarrow \underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=\xi$$

唯一性： 同上.

4.5 有限覆盖定理

$\text{Proof:}$

存在性： 假设闭区间套 $\{[a_n,b_n]{\}}_{n\in {\mathbb{N}}^{+}}$ 中所有区间不存在公共点，即 $\nexists \xi \in [a_n,b_n](n\in {\mathbb{N}}^{+})$，于是

$$\forall x\in [a_1,b_1]:\exists \delta >0,s.t.U(x,\delta )\cap \{[a_n,b_n]{\}}_{n\in {\mathbb{N}}^{+}}=\varphi$$

从而

$$\exists N\in {\mathbb{N}}^{+},s.t.\forall n>N:[a_n,b_n]\cap U(x,\delta )=\varphi$$

构造闭区间套的一个无限开覆盖

[ a 1 , b 1 ] ⊆ { U ( x k , δ k ) ∣ x k ∈ [ a 1 , b 1 ] } k ∈ Λ [a_1,b_1]\subseteq\{U(x_k,\delta_k)|x_k\in[a_1,b_1]\}_{k\in\Lambda} [a1​,b1​]⊆{U(xk​,δk​)∣xk​∈[a1​,b1​]}k∈Λ​

由 $\text{Heine-Borel}$ 有限覆盖定理，存在有限子覆盖

$$[a_1,b_1]\subseteq \bigcup _{k=1}^{n}U(x_k,{\delta }_k)$$

故 $$\exists N\in {\mathbb{N}}^{+},s.t.\forall n>N:[a_n,b_n]\cap \bigcup _{k=1}^{n}U(x_k,{\delta }_k)=\varphi$$

与 $[a_n,b_n]\subseteq [a_1,b_1]$ 矛盾.

唯一性： 同上.

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5 Bolzano-Weierstrass定理

$\text{Definition}$ 聚点

数集 $E\subseteq {\mathbb{R}}^n,x\in {\mathbb{R}}^n$， ∃ { x n } ⊆ E , s . t . lim ⁡ n → ∞ ∣ x n − x ∣ = 0 \exist\{x_n\}\subseteq E,\ \mathrm{s.t.}\lim\limits_{n\to\infty}|x_n-x|=0 ∃{xn​}⊆E, s.t.n→∞lim​∣xn​−x∣=0，则称 $x$ 为 $E$ 的聚点.

$\text{Theorem}\text{Bolzano-Weierstrass}$ 定理

聚点定理： $\mathbb{R}$ 上有界无限点集至少存在一个聚点.
致密性定理： $\mathbb{R}$ 上有界数列必存在收敛子列.

5.0 戴德金定理

$\text{Proof:}$

设 { x n } \{x_n\} {xn​} 为有界数列，$\forall x\in \mathbb{R}:(-\infty ,x]$ 至多含数列中有限项，则该区间内实数归为 $A$，其余实数归为 $A^{\prime }=\mathbb{R}\backslash A$，则 $A|A^{\prime }$ 构成一个 $\text{Dedekink}$ 分割，由 $\text{Dedekink}$ 定理可知，$\exists !\alpha \in \mathbb{R}$ 为分割点，$\forall \epsilon >0:\alpha -\epsilon \in A,\alpha +\epsilon \in A^{\prime }$，则 $U(\alpha ,\epsilon )$ 含有 { x n } \{x_n\} {xn​} 的无穷项，于是

$$\begin{array}{rl}& \exists n_1\in {\mathbb{N}}^{+},s.t.x_{n_1}\in U(\alpha ,1)\\ & \exists n_2>n_1,s.t.x_{n_2}\in U(\alpha ,\frac{1}{2})\\ & \cdots \\ & \exists n_k>n_{k-1},s.t.x_{n_k}\in U(\alpha ,\frac{1}{k})\end{array}$$

由此可得子列 { x n k } : ∣ x n k − α ∣ < 1 k \{x_{n_k}\}:|x_{n_k}-\alpha|<\frac{1}{k} {xnk​​}:∣xnk​​−α∣<k1​，则 $\underset{k\to \infty }{\lim }{x}_{n_k}=\alpha$

5.1 闭区间套定理

$\text{Proof:}$

设数列 { x n } \{x_n\} {xn​} 有界，则

∃ a 1 , b 1 ∈ R , s . t . { x n } n ∈ N + ∈ [ a 1 , b 1 ] \exists a_1,b_1\in\R,\ \mathrm{s.t.}\ \{x_n\}_{n\in\N^+}\in [a_1,b_1] ∃a1​,b1​∈R, s.t. {xn​}n∈N+​∈[a1​,b1​]

等分区间

$$[a_1,b_1]=\left[a_1,\frac{a_1+b_1}{2}\right]\cap \left[\frac{a_1+b_1}{2},b_2\right]$$

则至少一个区间含数列 { x n } \{x_n\} {xn​} 中无穷项，将其记作 $[a_2,b_2]$，再次等分区间并取含无穷项区间，重复以上过程，可得闭区间套 $\{[a_k,b_k]\}$，由闭区间套定理有

$$\xi =\underset{k\to \infty }{\lim }{a}_k=\underset{k\to \infty }{\lim }{b}_k$$

在区间 $[a_1,b_1]$ 中任选 { x n } \{x_n\} {xn​} 中第 $n_1$项，记作 $x_{n_1}$，在 $[a_2,b_2]$ 中选取其后任一项，记作 $x_{n_2}(n_2>n_1)$，重复以上过程，可得数列 { x n } \{x_n\} {xn​} 的一个子列 { x n k } \{x_{n_k}\} {xnk​​}，满足

$$\forall k\in {\mathbb{N}}^{+}:x_{n_k}\in [a_k,b_k]$$

由迫敛性准则

$$\underset{k\to \infty }{\lim }{x}_{n_k}=\xi$$

5.2 单调有界定理

$\text{Proof:}$

设数列 { x n } \{x_n\} {xn​} 有界，则

$$\exists a_1,b_1\in \mathbb{R},s.t.x_n\in [a_1,b_1{]}_{n\in {\mathbb{N}}^{+}}$$

其中含数列无穷项，取 $x_{n_1}\in [a_1,b_1]$ 并等分区间，记含数列无穷项区间为 $[a_2,b_2]$，取 $x_{n_2}\in [a_2,b_2]$，重复以上过程，可得数列 { a n } , { b n } , { x n k } \{a_n\},\{b_n\},\{x_{n_k}\} {an​},{bn​},{xnk​​}，其中 { a n } ↑ ⩽ b 1 \{a_n\}\uparrow\leqslant b_1 {an​}↑⩽b1​，故由单调有界原理

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\xi$$

又

$$\underset{n\to \infty }{\lim }(b_n-a_n)=0,a_n⩽x_{n_k}⩽b_n$$
由迫敛性准则

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{n_k}=0$$

5.3 柯西收敛原理

$\text{Proof:}$

设有界数列 { x n } ⊆ [ a 1 , b 1 ] \{x_n\}\subseteq[a_1,b_1] {xn​}⊆[a1​,b1​]，取 $x_{n_1}\in [a_1,b_1]$，二分区间，至少存在一个区间含有数列无穷项，记作 $[a_2,b_2]$，取 $x_{n_2}\in [a_2,b_2](n_2>n_1)$，不断等分区间可得，$x_{n_k}\in [a_k,b_k](n_k>n_{k-1})$，于是得到子列 { x n k } k ∈ N + \{x_{n_k}\}_{k\in\N^+} {xnk​​}k∈N+​，

取

$$N=\left[{\log }_2^{\frac{b_1-a_1}{\epsilon }}+1\right]+1$$

则

$$\forall \epsilon >0,\exists N\in {\mathbb{N}}^{+},s.t.\forall i,j>N:|x_{n_i}-x_{n_j}|<|b_N-a_N|=\frac{b_1-a_1}{2^{N-1}}<\epsilon$$

满足 $\text{Cauchy}$ 收敛准则，故子列收敛.

5.4 确界存在原理

$\text{Proof:}$

设数列 { x n } \{x_n\} {xn​} 有上界 $M$，构造数集 E = { x ∣ ∃ N ∈ N + , s . t . ∀ n > N : x n > x } = { x ∣ { x n } E=\{x|\exist N\in\N^+,\mathrm{s.t.}\forall n>N:x_n>x\}=\{x|\{x_n\} E={x∣∃N∈N+,s.t.∀n>N:xn​>x}={x∣{xn​} 内无限项大于 $x\}$，当 $x>M$，$E=\varphi$，所以 $E$ 有上界，由确界存在原理，$\xi =\sup E$

$\forall \epsilon >0:\xi -\epsilon \in E$，则 $(\xi -\epsilon ,\xi ]$ 含无限项，$(\xi ,\xi +\epsilon )$ 含有限项，于是有邻域 $U(\xi ,\epsilon )$ 含无限项，故

$$\forall \epsilon >0,\exists N\in {\mathbb{N}}^{+},s.t.\forall n>N:x_n\in U(\xi ,\epsilon )$$

可在邻域中找到一个子列，有

∀ ε k > 0 , n k > n k − 1 > N ∈ N + , x n k ∈ { x n } , ∣ x n k − ξ ∣ < ε k \forall\varepsilon_k>0,n_k>n_{k-1}>N\in\N^+,x_{n_k}\in\{x_n\},|x_{n_k}-\xi|<\varepsilon_k ∀εk​>0,nk​>nk−1​>N∈N+,xnk​​∈{xn​},∣xnk​​−ξ∣<εk​

于是存在收敛子列.

5.5 有限覆盖定理

$\text{Proof:}$

设数列 { x n } \{x_n\} {xn​} 有界，即

$$\forall n\in {\mathbb{N}}^{+}:|x_n|⩽M\iff x_n\in [-M,M]$$

考虑反证：假设 { x n } \{x_n\} {xn​} 任意子列均不收敛，则 $\forall x\in [-M,M]:x$ 均非收敛点.

若数列 { y n } \{y_n\} {yn​} 收敛于 $y$ ，由定义有 $\forall \epsilon >0,\exists N\in {\mathbb{N}}^{+},s.t.\forall n>N:|y_n-y|<\epsilon$，即收敛点 $y$ 的任意邻域 $U(y,\epsilon )$ 内含有 { y n } \{y_n\} {yn​} 的无穷多项，反之，非收敛点的邻域内含 { y n } \{y_n\} {yn​} 的有限项.

所以 $\exists \delta >0,s.t.U(x,\delta )$ 含 { x n } \{x_n\} {xn​} 的有限项，可得一族开覆盖

{ U ( x k , δ k ) } k ∈ Λ \{U(x_k,\delta_k)\}_{k\in\Lambda} {U(xk​,δk​)}k∈Λ​

由 $\text{Heine-Borel}$ 定理，无限开覆盖中存在有限子覆盖

$$[-M,M]\subseteq \bigcup _{k=1}^{n}U(x_k,{\delta }_k)$$

因此 $[-M,M]$ 含有限元素，所以数列仅含有限项，不符合数列条件，矛盾.

5.6 聚点定理

$\text{Proof:}$

设有界数列 { x n } ⊆ E \{x_n\}\subseteq E {xn​}⊆E，若 { x n } \{x_n\} {xn​} 有无限项相等，相等项可构成一个收敛子列；若 { x n } \{x_n\} {xn​} 仅有限项相等，则 $E$ 为有界无限点集，由聚点定理可知， $E$ 上存在聚点 $x$，且任意邻域 $U(x,\epsilon )$ 皆含 $E$ 的无限元素，故

$$\begin{array}{rl}& \exists n_1\in {\mathbb{N}}^{+},s.t.x_{n_1}\in U(x,1)\\ & \exists n_2>n_1,s.t.x_{n_2}\in U(x,\frac{1}{2})\\ & \cdots \\ & \exists n_k>n_{k-1},s.t.x_{n_k}\in U(x,\frac{1}{k})\end{array}$$

于是得到子列 { x n k } \{x_{n_k}\} {xnk​​} 有 $\forall k\in {\mathbb{N}}^{+}:|x_{n_k}-x|<\frac{1}{k}$，即子列收敛于 $x$.

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6 Heine-Borel定理

$\text{Theorem}$ $\text{Heine-Borel-Lebesgue}$ 定理(有限覆盖定理)

在 $\mathbb{R}$ 上有界闭集的任意开覆盖均存在有限子覆盖. 即
一族开集 { I k } k ∈ Λ \{I_k\}_{k\in \Lambda} {Ik​}k∈Λ​ 是有界闭集 $E$ 的一个无限开覆盖，则必可以从 { I k } k ∈ Λ \{I_k\}_{k\in \Lambda} {Ik​}k∈Λ​ 中选取有限开集覆盖 $E$.

6.0 戴德金定理

$\text{Proof:}$

考虑反证，假设 $[a,b]$ 的无限开覆盖 { I k } k ∈ Λ \{I_k\}_{k\in \Lambda} {Ik​}k∈Λ​ 中不存在有限子覆盖，记

$$(-\infty ,a]\subseteq A,[b,+\infty )\subseteq A^{\prime }$$

等分区间 $[a,b]$，则两个等分半区间中至少有一个不存在有限子覆盖，

(1) 若左半区间无有限子覆盖，无论右半区间是否存在有限子覆盖，将右半区间归入 $A^{\prime }$，对左半区间继续等分；

(2) 若左半区间含有限子覆盖，则右半区间必然无有限子覆盖，此时将左半区间归入 $A$，对右半区间继续等分；

重复以上操作，则待等分区间 $[a_n,b_n]$ 长度为 $\frac{b-a}{2^n}\to 0(n\to +\infty )$，所以 $A|A^{\prime }$ 可构成分割，由 $\text{Dedekind}$ 定理，

∃ ! α ∈ ⋃ n = 1 ∞ [ a n , b n ] ⊆ [ a , b ] ⊆ { I k } k ∈ Λ \exist!\alpha\in\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}[a_n,b_n]\subseteq[a,b]\subseteq \{I_k\}_{k\in\Lambda} ∃!α∈n=1⋃∞​[an​,bn​]⊆[a,b]⊆{Ik​}k∈Λ​

于是

∃ I m ∈ { I k } k ∈ Λ , s . t . [ a n , b n ] n ∈ N + ∈ I m \exist I_m\in\{I_k\}_{k\in\Lambda},\ \mathrm{s.t.}[a_n,b_n]_{n\in\N^+}\in I_m ∃Im​∈{Ik​}k∈Λ​, s.t.[an​,bn​]n∈N+​∈Im​

与待等分区间 $[a_n,b_n{]}_{n\in {\mathbb{N}}^{+}}$ 无有限子覆盖矛盾.

6.1 闭区间套定理

$\text{Proof:}$

假设有界闭集 $E=[a_1,b_1]$ 的无限开覆盖 { I k } k ∈ Λ \{I_k\}_{k\in \Lambda} {Ik​}k∈Λ​ 中不存在有限子覆盖，则每次二分区间中至少有一个区间无法被有限覆盖，将无法被有限覆盖的半区间记为 $[a_k,b_k]$，可得闭区间套 $\{[a_n,b_n]{\}}_{n\in {\mathbb{N}}^{+}}$，由闭区间套定理有

$$\exists !\xi \in \bigcap _{n=1}^{\infty }[a_n,b_n]\subseteq \bigcup _{k\in \Lambda }{I}_k$$

于是

∃ δ > 0 , s . t . ξ ∈ ( ξ − δ , ξ + δ ) ∃ m ∈ Λ , s . t . ( ξ − δ , ξ + δ ) ⊆ I m ⊆ { I k } k ∈ Λ \exist \delta>0\ ,\mathrm{s.t.}\ \xi\in(\xi-\delta,\xi+\delta) \\ \exist m\in\Lambda,\mathrm{s.t.}\ (\xi-\delta,\xi+\delta)\subseteq I_m\subseteq \{I_k\}_{k\in \Lambda} ∃δ>0 ,s.t. ξ∈(ξ−δ,ξ+δ)∃m∈Λ,s.t. (ξ−δ,ξ+δ)⊆Im​⊆{Ik​}k∈Λ​

又 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=\xi$，所以 $\exists N\in {\mathbb{N}}^{+},s.t.\forall n>N:$

$$\xi \in [a_n,b_n]\subseteq (\xi -\delta ,\xi +\delta )\subseteq I_m$$

故 $[a_1,b_1]$ 存在二分闭区间能被 { I k } k ∈ Λ \{I_k\}_{k\in \Lambda} {Ik​}k∈Λ​ 有限子覆盖，与假设矛盾.

6.2 确界存在原理+勒贝格方法

$\text{Proof:}$

考虑数集 X = { x ∈ [ a , b ] : [ a , x ] X=\{x\in[a,b]:[a,x] X={x∈[a,b]:[a,x] 可被 { I k } k ∈ Λ \{I_k\}_{k\in\Lambda} {Ik​}k∈Λ​ 中有限开区间覆盖 $\}$，当 $x=a$ 时， [ a , a ] = { a } ∈ X ≠ ϕ [a,a]=\{a\}\in X\ne\phi [a,a]={a}∈X=ϕ，则数集非空且有上界 $b$，由确界存在原理
$$\beta :=\sup X$$

此时证 $\beta =b$，假设 $\beta \ne b$，则 $\beta \in (a,b)$，且

∃ m ∈ Λ , s . t . β ∈ I m ⊆ { I k } k ∈ Λ ; ∃ δ > 0 , s . t . U ( β , δ ) ⊆ I m ∩ [ a , b ] \exist m\in\Lambda,\ \mathrm{s.t.}\ \beta\in I_m\subseteq\{I_k\}_{k\in \Lambda}\ ;\ \exist\delta>0,\mathrm{s.t.}\ U(\beta,\delta)\subseteq I_m\cap[a,b] ∃m∈Λ, s.t. β∈Im​⊆{Ik​}k∈Λ​ ; ∃δ>0,s.t. U(β,δ)⊆Im​∩[a,b]

则闭区间 $U[\beta ,\frac{\delta }{2}]$ 可由 $I_m$ 覆盖，由上确界定义有

$$\exists x_0\in X,s.t.a<\beta -\frac{\delta }{2}<x_0<\beta \Rightarrow \beta -\frac{\delta }{2}\in X$$

所以 $[a,\beta -\frac{\delta }{2}]$ 可被有限覆盖，于是 $[a,\beta +\frac{\delta }{2}]=[a,\beta -\frac{\delta }{2}]\cup U(\beta ,\frac{\delta }{2})$ 可被有限开覆盖，从而 $\beta +\frac{\delta }{2}\in X$，与 $\beta =\sup X$ 矛盾，故 $\beta =b$.

∃ n ∈ Λ , s . t . b ∈ I n ⊆ { I k } k ∈ Λ ∃ δ 1 > 0 , s . t . U − ( b , δ 1 ) ⊆ I n ∩ [ a , b ] \exist n\in\Lambda,\mathrm{s.t.}\ b\in I_n\subseteq\{I_k\}_{k\in \Lambda} \\\exist\delta_1>0,\mathrm{s.t.}U_-(b,\delta_1)\subseteq I_n\cap[a,b] ∃n∈Λ,s.t. b∈In​⊆{Ik​}k∈Λ​∃δ1​>0,s.t.U−​(b,δ1​)⊆In​∩[a,b]

因为闭区间 $[a,b-\frac{{\delta }_1}{2}]$ 能被有限开覆盖，故 $[a,b]=[a,b-\frac{{\delta }_1}{2}]\cup U_{-}(b,{\delta }_1)$ 能被有限开覆盖，得证.

6.3 单调有界原理

$\text{Proof:}$

假设有界闭集 $E=[a_1,b_1]$ 的无限开覆盖 { I k } k ∈ Λ \{I_k\}_{k\in \Lambda} {Ik​}k∈Λ​ 中不存在有限子覆盖，则每次二分区间中至少有一个区间无法被有限覆盖，记为 $[a_k,b_k]$，可得闭区间套 $\{[a_n,b_n]{\}}_{n\in {\mathbb{N}}^{+}}$，其中 { a n } , { b n } \{a_n\},\{b_n\} {an​},{bn​} 均为单调有界数列，由单调有界原理

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=\xi$$

即

$$\forall \epsilon >0,\exists N\in {\mathbb{N}}^{+},s.t.\forall n>N:a_n,b_n\in U(\xi ,\epsilon )\Rightarrow [a_n,b_n]\subseteq U(\xi ,\epsilon )$$

故与不存在有限开覆盖矛盾，假设不成立.

6.4 柯西收敛原理

$\text{Proof:}$

假设有界闭集 $E=[a,b]$ 的无限开覆盖 { I k } k ∈ Λ \{I_k\}_{k\in \Lambda} {Ik​}k∈Λ​ 中不存在有限子覆盖，则每次二分区间中至少有一个区间无法被有限覆盖，将等分后无有限开覆盖区间分别记作 $[a_{2k-1},a_{2k}](k\in {\mathbb{N}}^{+})$，得到闭区间套 $\{[a_{2n-1},a_{2n}]{\}}_{n\in {\mathbb{N}}^{+}}$，则由性质有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }(a_{2n}-a_{2n-1})=0$$

即

$$\forall \epsilon >0,\exists N\in {\mathbb{N}}^{+},s.t.\forall n>N:|a_{2n}-a_{2n-1}|<\epsilon$$

由 $\text{Cauchy}$ 收敛准则，数列 { a n } \{a_n\} {an​} 为基本列收敛于 $\xi$，又由闭区间套性质，奇偶子列极限存在，则

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_{2n}=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_{2n-1}=\xi$$

$$\forall \epsilon >0,\exists N\in {\mathbb{N}}^{+},s.t.\forall n>N:a_{2n},a_{2n-1}\in U(\xi ,\epsilon )\Rightarrow [a_{2n-1},a_{2n}]\subseteq U(\xi ,\epsilon )$$

与不存在有限开覆盖矛盾，假设不成立.

6.5 致密性定理

$\text{Proof:}$

考虑反证，假设有界闭集 $E=[a_1,b_1]$ 的无限开覆盖 { I k } k ∈ Λ \{I_k\}_{k\in\Lambda} {Ik​}k∈Λ​ 中不存在有限子覆盖，则每次二分区间中至少有一个区间无法被有限覆盖，记为 $[a_k,b_k]$，可得一列闭区间套 $\{[a_n,b_n]{\}}_{n\in {\mathbb{N}}^{+}}$，其中 { a n } , { b n } \{a_n\},\{b_n\} {an​},{bn​} 均为有界数列，由 $\text{Bolzano-Weierstrass}$ 定理，存在有界子列收敛于 $\xi$，即

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_{n_k}=\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_{n_k}=\xi$$

显然 ∃ m ∈ Λ , s . t . ξ ∈ I m ⊆ { I m } k ∈ Λ \exist m\in\Lambda,\mathrm{s.t.}\ \xi\in I_m\subseteq\{I_m\}_{k\in \Lambda} ∃m∈Λ,s.t. ξ∈Im​⊆{Im​}k∈Λ​，故

$$\exists K\in {\mathbb{N}}^{+},s.t.\forall k>K:[a_{n_k},b_{n_k}]\subseteq I_m$$

与 $[a_{n_k},b_{n_k}]$ 不能被有限覆盖矛盾，假设不成立.