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测度论——测度论思想的引出

ds 2025/5/8 8:56:41

1. 测度问题(一种引出方式)

Euclid几何(译注：典型的特征是有距离和角度)中最基本的概念之一是固体(a solid body)E在一个或多个维度上的测度m( E )。在一维、二维和三维空间中，我们分别将此测度称为E的长度、面积或体积。在经典几何方法中，物体的测度通常是通过将物体分割成有限多个组成部分来计算的，围绕每个组成部分进行刚体运动(a rigid motion)(例如平移或旋转，即保持长度，角度，面积等不变的运动)，然后将这些组成部分重新组装成一个更简单的物体，该物体的面积可能相同。人们也可以通过计算某个内接或外接物体的测度来获得物体测度的上下限；这一古老的思想至少可以追溯到Archimedes的著作。这类论证可以通过诉诸几何直觉来论证，或者简单地假设存在一个测度m( E )，它可以分配给所有固体E ，并且遵循一系列几何上合理的公理。人们也可以从“物理”或“还原论(reductionistic)”的角度来证明度量概念的合理性，将宏观物体的度量视为其微观组成部分的度量之和。(注：除了Euclid空间，也可以提出其它领域的测度问题，例如Riemann流形。但为了简单起见，我们这里将重点讨论Euclid空间的情况，有关流形积分的处理，请参阅Riemann几何的任何教材。)

然而，随着解析几何(译注：或分析几何，即用代数方法来分析几何)(analytic geometry)的出现，Euclid几何被重新解释为对实数线 𝑹 的笛卡尔积(Cartesian products) $\mathsf{R}^{d}$ 的研究(译注：又称直积，是指两个集合 X 和 Y 中所有可能元素序对的集合，记为 $X \times Y$ ，其中一个元素来自 X，另一个元素来自Y 。用公式表示为 $X \times Y = \{(x ,y): x \in X , y \in Y \}$ )。使用这种解析基础而非经典的几何基础，如何定义 $\mathsf{R}^{d}$ 的一般子集 $E$ 的测度 $m ( E )$ 不再直观显而易见；我们将这个(定义有些模糊的)记下“正确”测度定义的问题称为测度问题。

为了弄清这个问题为何存在，让我们尝试将之前讨论过的关于度量的一些直觉形式化。将物体E的度量定义为其组成“原子”的度量之和的物理直觉会立即遇到一个问题：一个典型的固体由无限(且不可数)个点组成，每个点的度量(或测度)(measure)为零；而 ∞ • 0 的乘积是不确定的。更糟糕的是，两个点数完全相同的物体，度量不一定相同。例如，在一维空间中，区间 A = [0，1] 和 B = [0，2]是一一对应的(使用从A到B的双射 x ⟶ 2x 来表示)，但 B 的长度当然是 A 的两倍。因此，我们可以将 A 分解成不可数个点，然后重新组装它们，形成一个两倍长度的集合。

当然，人们可以指出，这种分解中无限(且不可数)的组成部分数量是导致直觉失效的原因，并将注意力限制在有限的划分上。但这里仍然会遇到一些麻烦，原因有很多，其中最引人注目的是Banach-Tarski悖论(Banach-Tarski paradox)，该悖论表明，单位球 $B =\{( x,y ,z) \in R^{3}:x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1 \}$ 在三维空间(注：该悖论仅在三维及更高维度上成立，其原因与群论的适应性有关；有关进一步讨论，请参阅 <<An epsilon of room>>第 I 卷第2.2节)中可以分解成有限数量的分片(pieces)(实际上，分成五块分片即可)，然后可以重新组装(在平移和旋转每个分片之后)，形成球 B 的两个脱离(即不相交)的副本。

这里的问题在于，这种分解中使用的元素本质上是高度病态的(pathological)；除去其它因素，它们的构造需要使用选择公理。(这实际上是必要的；因为 Solovay [So1970] 的一个著名定理，存在一些没有选择公理的集合论模型，在这些模型中，Banach-Tarski悖论不会发生。) 这种病态集合几乎从未出现在数学的实际应用中。因此，测度问题的标准解决方案已经放弃测量 $\mathsf{R}^{d}$ 的每一个子集 E 的这个目标，而是只测量 $\mathsf{R}^{d}$ 中某个“非病态”子集的子类，我们称这些子类为可测集(measurable sets)。测度问题于是分解成几个子问题：

(i) $\mathsf{R}^{d}$ 的一个子集 E 可测意味着什么？

(ii) 如果一个集合 E 可测，我们又该如何定义其测度？

(iii) 测度(或者测度之概念)遵从哪些好的属性或公理？

(iv) “普通”集合(例如，立方体，球体，多面体，等等)可测吗？

(v) 一个“普通”集合的测度是否等于该集合的“朴素几何测度”？(例如，一个 a × b 矩形的测度等于 ab 吗？)

这些问题在表述上有些开放，没有唯一的答案；具体来说，人们可以扩展可测集的类别，但代价是在此过程中失去一个或多个良好的测度性质(例如，有限或可数可加性、平移不变性或旋转不变性)。然而，有两个基本答案，它们足以满足大多数应用的需求。第一个是 Jordan可测集的Jordan测度(或Jordan内容)的概念，这个概念与Riemann积分(或Darboux积分)的概念密切相关。这个概念足够基础，足以在本科分析课程中进行系统学习，并且足以测量许多数学分支中大多数“普通”集合(例如，连续函数图下的面积)。然而，当研究分析中出现的集合类型，特别是那些作为其他集合的极限(在各种意义上)出现的集合时，就会发现 Jordan 可测性概念并不十分适用，必须扩展到更一般的Lebesgue可测性概念，以及相应的Lebesgue测度概念，后者扩展了 Jordan 测度。Lebesgue理论(可以被视为对 Jordan-Darboux-Riemann 理论的完备)保留了 Jordan 测度的几乎所有理想性质，但还有一个关键的附加性质，即Lebesgue理论的许多特征在极限下都能保留(如基本收敛性中所示)。Lebesgue理论的定理，例如单调收敛定理和控制收敛定理(dominated convergence theorem)，这些定理在Jordan-Darboux-Riemann集合中不成立。因此，它们特别适合分析中的应用，因为在这些场景下函数或集合的极限总是存在(注：还有其他方法可以扩展 Jordan 测度和Riemann积分，例如参见练习 1.6.53 或第 1.7.3 节，但Lebesgue方法比其他方法更好地处理极限和重排，因此已成为分析中的标准方法；它也特别适合提供概率论的严格基础)。

2. 测度问题(另一种引出方式)

如何赋予一种大小、一个容量(content)、一种概率、等等某种集合，这在我们的日常生活中非常普遍。我们在日常生活中常常经历下述事情：

● 计数：集合 {a , b , c , … , x , y , z } 有 26 个字母。

● 取度量：长度(在一维的情况下)，面积(在二维的情况下)，体积(在三维的情况下)或时间。

● 计算：放射性衰变的速率或中彩票的几率。

在每种情况下，我们都根据某个基本单位进行比较(并表达结果)；刚才提到的大多数测量方法都直观易懂。不过，我们还是来仔细看看以下几个方面：

(2) 面积 = $\frac{1}{2}$ × 底(b) × 高度(h) 。

三角形确实比矩形更基本，因为我们可以将每个矩形，甚至任何形状奇特的四边形，表示为两个不重叠三角形的“和”：

(3) 面积 = 阴影三角形的面积 + 白色三角形的面积。

在这样做的过程中，我们默认了一些事情。在(2)中，我们任意选择了一条特定的基线和相应的高度。但面积的概念不应该依赖于这样的选择以及这种选择所带来的计算。面积与计算方式的独立性称为良定义性(译注：即定义明确无歧义(unambiguous)，其定义赋予其解释或值的唯一性)。简言之，

(4)

注意，(4) 允许我们选择最方便的方法来计算面积。在 (1.3) 中，我们实际上使用了两个事实：

● 可以将不重叠(不相交，即脱离)集合加进面积(译注：将三角形的面积视为集合)，即

Area(A) = α , Area(B) = β , A∩B = ∅ ⟹ Area(A∪B ) = α + β 。

● 全等三角形面积相同，即 Area(◸) = Area(◿) 。

这表明，我们对一项合理测度 μ(译注：Measure 的首字母为M，而希腊字母M的小写为 μ )的最低期望是

(5) 良定义的，取值范围位于 [0, ∞] ,且 μ(∅) = 0 ；

(6) 可加性，即只要 A∩B = ∅ (即只要 A 和 B 是脱离的) ，就有 μ(A∪B ) = μ(A) + μ(B )；

(7) 测度 μ 在全等情况下的另一个属性是不变性(invariant)。

而测度 μ 的不变性被证明是长度，面积和体积的一个特别的属性，即 Rn 上的 Lebesgue 测度的一个属性(译注：这一步跳得有点大)。

上述规则使我们能够测量任意形状奇特的多边形，方法如下：将多边形分解成不重叠的三角形，然后将它们的面积相加。但是，对于弯曲或更复杂的形状又应该如何求解呢，例如：

这里对圆有一种可能的求解方法：在圆内嵌入一个正 $2^{j}$ (j∈ℕ)边形，将其内部细分成全等的三角形，求得每一个这些分割三角形的面积，再将所有 $2^{j}$ 个三角形的面积相加。

在下一步中，迭加 j ⟿ j + 1 ，通过加倍圆周上的点数并重复上述过程进行计算。最终，

(8) 圆的面积 = $\lim_{j\rightarrow \infty}{2^{j}}\times$ 第 j 步的三角形的面积。

同样，存在几个问题：上述这个极限存在吗？允许将一个集合细分成任意多个子集吗？这个过程依赖于某个特定的细分吗？事实上，没有什么能阻止我们用更小的方块来铺圆！对于合理的测量概念来说，所有这些问题的答案都应该是肯定的，而且只要我们的方块不相交，我们铺圆的方式就不会导致不同的结果。然而，对此仅有 (6) 这个有限可加性是不够的，我们必须用

(9) ( σ 可加性 ) $\mathsf{area}(\cup_{j\in\mathbb{N}}{A_{j}})=\Sigma_{j\in \mathbb{N}}{\mathsf{area}}(A_{j})$ 。