信号与系统-风中醉风
绪论
信号与系统：从时域、频域、离散，研究信号
输入信号->系统->输出信号
时域不好分析->转换到频域->时域
第一章-信号与系统基础
信号的表达方式
1.表达式
2.波形
数形结合百般好 ——华罗庚
信号的分类
1.确定信号 随机信号（不研究）
确定信号：能够写出表达式
2.连续信号 离散信号
连续变量：自变量定义范围内，除去不连续点，对于任意自变量可以得到确定的函数值。
除去不连续点 -1 , 1，其余点仍然满足连续信号条件。
离散信号：也称序列，只研究 n = 0,±1,±2,±3…（量化/取整）
3.模拟信号 数字信号
模拟信号：自变量和信号参量取值都连续
数字信号：自变量和信号参量取值都离散
4.周期信号 非周期信号
周期信号 ：
（1）连续信号：f (t) = f (t+mT) , m = 0,±1,±2…
（2）离散信号：f (n) = f (n+mN) , m = 0,±1,±2… N为整数
结论 对于一个周期为T的信号 f (t)，离散化后得到 f (βn) 的周期为：
1.当 T/β 为无理数，此时 f (βn) 无周期
2.当 T/β 为有理数 = b/a ，有周期为12
结论
T1，T2 无最小公倍数–周期商为无理数，和差商积无周期
5.实信号 复信号
复数：a+jb Ae(j角度)
6.奇信号 偶信号
f (t) = f (-t) 偶信号
f (t) = -f (-t) 奇信号
任意一个信号，都可以拆成奇分量和偶分量
7.能量信号 功率信号
连续：
离散：连续是积分，离散是求和
能量有限：能量信号，功率为0
功率有限：功率信号，能量无穷
非能量非功率信号：能量无穷，功率无穷。
结论可积信号，若是时限的，则f (t) 是能量信号。
可积条件下，周期信号一定是功率信号。
信号的运算
1.相加
离散：各个点相加
连续：表达式相加
2.相乘
3.微分，积分
连续信号
微分：表达式求导
积分：变上限积分，上限为 t （积分后函数值连续）
f (t) 求导 d f(t)/dt 变上限积分-> != f (t)，不一定等于f (t)，负无穷为0，可以还原
先变上限积分，再求导还原，得到原 f (t)
离散信号
微分->差分
积分->累加
4.翻折
f (t) -> f (-t)
f (k) -> f (-k)
5.移位
f (t) -> f (t - t0) 左加右减
6.尺度变换
连续：
f (t) -> f (at) (a>0)
a > 1 压缩
0<a<1 扩展
离散：
压缩：删去非整数点
扩展：新的点为0，删除非整数点
有限序列表示 f (n) = { 3,1,1,2,2,1,3 }，0点位置标注
所有的变换都是针对 t 而言
t -> at+b
at+b -> t
常见信号
1.指数信号
单边衰减指数信号：
2.正弦信号
单边衰减正弦信号
采样（暂时了解，后续重点讲）
欧拉公式：
3.复指数信号 （没听懂，不知道有什么用 4.26）
4.Sa信号 （抽样函数）
理想抽样：采点
显示抽样：矩形脉冲
震荡，t增大，总体减小
sin t = 0,Sa(t) = 0
5.常数信号
一般是功率信号
一个信号的功率等于直流功率与交流功率之和
6.斜变信号
奇异信号：
7.阶跃信号
窗口
门函数
u(t)的定义域是全实数
一个信号的多种表示
阶跃序列
8.符号函数
9.冲激信号
冲激信号的导数是冲激偶信号
性质：
抽样性质
积分变为阶跃信号
2到-2积分，符号提出去，上下限互换，积分为-1
拆分的方法
冲激信号的尺度变换
综合题
冲激信号是偶信号
冲激信号可以用来表示任意信号
单位脉冲序列
冲激偶信号
求导：斜边->阶跃->冲激->冲激偶
不连续点是阶跃信号
冲击偶信号的积分性质
系统的特性
1.线性系统
性质：输入为0，输出为0
判断是否为线性
线性
非线性
带常熟
带高次方
2.时不变性
线性+时不变性 == 线性时不变系统 LTI系统
系统特性不随时间变化而变化
时变
所有变化针对t而言
上：先经过系统，再延时：所有 t 都延时 t0，
下：先延时，经过系统，其他t，不会延时
经过系统就是，对运算操作。
先经过系统再时移
先时移再经过系统 二者相等，则是时不变
3.因果系统
输出只取决于现在和过去的输入有关，而与将来无关
无记忆性，一定是因果：取决于当前
记忆性：取决于当前和之前
4.稳定系统
稳定性：若输入有界，则输出有界
5.可逆系统
可逆性：一个输入对应一个输出
6.离散系统
把 t 换成 n
错题：
线性时不变连续系统的数学模型是常系数线性微分方程 ，而常系数线性差分方程是线性时不变离散系统的数学模型
第二章—时域分析法
物理意义强，易理解
1.零输入响应 零状态响应
响应：输出；激励：输入
输出取决于 输入（外部激励）+系统初始状态（内部激励）
零输入响应：输入信号为零，仅由初始状态响应 rzi,yzi
零状态响应：初始状态为零，仅由输入引起的响应 rzs,yzs
线性系统：全状态 = 零状态+零输入
分量拆分，判断为两个线性分量
常系数线性微分方程/差分方程一般形式
判断 线性，时不变
线性：假设满足线性，看是否满足等式
时不变：假设f (t-t0) 输出y0(t)，发现与t - > t-t0式子吻合
卷积
卷积表示一个输入信号经过系统如何得到输出的过程
卷积：积累，当前和过去的输入对现在的输出有影响，当前的输入影响着现在和未来的输出
LTI系统下定义
h (t) 单位冲激响应：单位冲激信号δ(t)作用下的零状态响应
u(n)->LTI->g(t)单位阶跃响应
LTI系统的微分性，积分性
卷积->积分形式
求解卷积举例：
连续
离散
卷积的图解
简单函数左移t，翻着，从左往右滑动，分情况相乘积分，注意积分变量是 涛 不是t
结论
卷积的性质
1.交换律
积分从左往右和从右往左积差个负号，求和都一样
简单信号复杂变换
2.分配律
两个系统相互卷积——串联
两个系统相加——并联
常数可以提到卷积前面
3.结合律
既有乘积也有卷积，结合律不能用
奇异信号的卷积
一阶导
k阶导同理
卷积的时移
结合律+时移性质
卷积存在：
1.都有始或都有终
2.其中一个是时限的，有始有终
卷积的微积分特性
上标正是求导，负是积分
使用条件被求导的函数，t=负无穷=0，或被积分的函数本身的净面积为0
卷积的尺度变换
有限长序列的卷积
对位相乘求和法，不进位乘法
找零点
边界0有用就写，没用就省略
两矩形卷积
等腰梯形：
左端点a+c，右端点b+d
d-c是短底
与常数卷积
一些卷积积分
卷积和
微分方程和差分方程
线性常系数
微分方程的建立
电路图->微分方程 （非重点）
框图->微分方程
求和，倍乘，积分，微分
通过加法器来列式子
差分方程的建立
微分方程的求解
1.等号右端为0，求通解；
2.根据e(t)的形式，得到特解；
3.根据初始条件，解出待定系数；
冲激函数匹配法？
零状态响应和零输入响应的求解
1.零输入响应的求解：
输入为0，求通解即可
2.零状态响应
初始状态为0
强迫响应与自由响应
瞬态响应与稳态响应
