【差异分析】t-test

t-test

1. 算法介绍

• 背景与目标
  在基因表达差异分析中，常用两组（实验组 vs. 对照组）的独立样本 t 检验（two-sample t-test）来判断某一基因在两种处理下表达水平的均值是否存在显著差异。

  核心目标：检验基因在实验组和对照组的平均表达值 ${\mu }_1$ 与 ${\mu }_2$ 是否相等，即

  $$H_0:{\mu }_1={\mu }_2,H_A:{\mu }_1\ne {\mu }_2.$$

• 应用场景

  • RNA-seq、微阵列等高通量数据的单基因差异表达初步筛选
  • 简单实验设计下的小样本差异检测
  • 与多重检验校正方法（如 FDR）联合使用

• 核心思路

  1. 分别计算两组样本的均值和方差；
  2. 构造 t 统计量，反映两组均值差异相对于组内变异的大小；
  3. 根据 t 分布计算双侧 p 值，判断差异显著性。

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2. 公式及原理

2.1 样本统计量
对照组样本表达值 { x 1 i } i = 1 n 1 \{x_{1i}\}_{i=1}^{n_1} {x1i​}i=1n1​​，实验组样本表达值 { x 2 j } j = 1 n 2 \{x_{2j}\}_{j=1}^{n_2} {x2j​}j=1n2​​：

$${\bar{x}}_1=\frac{1}{n_1}\sum _{i=1}^{n_1}{x}_{1i},{\bar{x}}_2=\frac{1}{n_2}\sum _{j=1}^{n_2}{x}_{2j};$$

$$s_1^2=\frac{1}{n_1-1}\sum _{i=1}^{n_1}(x_{1i}-{\bar{x}}_1{)}^2,s_2^2=\frac{1}{n_2-1}\sum _{j=1}^{n_2}(x_{2j}-{\bar{x}}_2{)}^2.$$

2.2 等方差 t 检验（pooled）

1. 合并方差

   $$s_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}.$$

2. t 统计量

   $$t=\frac{{\bar{x}}_1-{\bar{x}}_2}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}.$$

3. 自由度

   $$\mathrm{df}=n_1+n_2-2.$$

2.3 Welch’s t 检验（不等方差）
当两组方差明显不等时，使用 Welch 校正：

$$t=\frac{{\bar{x}}_1-{\bar{x}}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}},\mathrm{df}=\frac{(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}{)}^2}{\frac{(s_1^2/n_1{)}^2}{n_1-1}+\frac{(s_2^2/n_2{)}^2}{n_2-1}}.$$

2.4 p 值计算
计算双侧 p 值：

$$p=2[1-F_t(|t|;\mathrm{df})],$$

其中 $F_t(\cdot ;\mathrm{df})$ 为自由度为 df 的 t 分布累计函数。

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3. 伪代码

# 输入
#   X1: 对照组表达值数组，长度 n1
#   X2: 实验组表达值数组，长度 n2
#   equal_var: 布尔，True→等方差检验, False→Welch 校正
# 输出
#   t_stat: t 统计量
#   df: 自由度
#   p_value: 双侧 p 值function two_sample_t_test(X1, X2, equal_var):n1 ← length(X1);   n2 ← length(X2)μ1 ← mean(X1);     μ2 ← mean(X2)s1_sq ← variance(X1)  # 分母 n1−1s2_sq ← variance(X2)if equal_var:# pooled variancesp_sq ← ((n1−1)*s1_sq + (n2−1)*s2_sq) / (n1 + n2 − 2)t_stat ← (μ1 − μ2) / (sqrt(sp_sq) * sqrt(1/n1 + 1/n2))df ← n1 + n2 − 2else:# Welch’s tt_stat ← (μ1 − μ2) / sqrt(s1_sq/n1 + s2_sq/n2)numerator ← (s1_sq/n1 + s2_sq/n2)^2denominator ← (s1_sq/n1)^2/(n1−1) + (s2_sq/n2)^2/(n2−1)df ← numerator / denominator# 双侧 p 值p_value ← 2 * (1 − t_cdf(abs(t_stat), df))return t_stat, df, p_value

• 时间复杂度：$O(n_1+n_2)$

• 注意事项：

  • 样本量过小时，正态性假设更关键；
  • 基因组范围内多重检验时需配合 FDR 或 Bonferroni 校正；
  • 对极低表达或零膨胀数据，建议先做滤除或转换（如 log2(x+1)）。