球坐标系下调和函数的构造：多项式边界条件的求解方法

题目

问题3. (i) 求解

$$\begin{gathered} \Delta u=0x^2+y^2+z^2<1, \\ u=g(x,y,z)x^2+y^2+z^2=1 \end{gathered}$$

其中 $$g(x,y,z)$$ 在下面定义。

提示：如果 $$g$$ 是一个 $$m$$ 次多项式，试令

$$u=g-P(x,y,z)(x^2+y^2+z^2-R^2)$$

其中 $$P$$ 是一个 $$(m-2)$$ 次多项式。这里 $$R$$ 是球的半径。如果 $$g$$ 具有某些旋转对称性，那么 $$P$$ 也具有。

(ii) 将 $$u$$ 表示为齐次调和多项式的和。

(iii) 代入 $$x=\rho \sin (\varphi )\cos (\theta ),y=\rho \sin (\varphi )\sin (\theta ),z=\rho \cos (\varphi ).$$

(a) $$g=x^2+y^2-z^2;$$
(b) $$g=z(x^2+y^2);$$
© $$g=xyz.$$
(d) $$g=x^4+y^4+z^4;$$
(e) $$g(x,y,z)=x^4;$$
(f) $$g(x,y,z)=(x^2+y^2{)}^2;$$
(j) $$g(x,y,z)=x^{3}yz;$$
(k) $$g(x,y,z)=(x^2+y^2{)}^2;$$
(l) $$g(x,y,z)=(x^2-y^2{)}^2;$$

解决方案

由于题目中 $$g$$ 的个数较多，我将详细解答部分 (a)、(b)、©，并提供其他部分的解答思路和结果。对于所有部分，球的半径 $$R=1$$。

(a) $$g=x^2+y^2-z^2$$

• $$g$$ 是二次多项式，所以 $$m=2$$，$$P$$ 是次数为 $$m-2=0$$ 的多项式，即常数。
• 设 $$u=g-P(x^2+y^2+z^2-1)$$。
• 计算 $$\Delta g=\Delta (x^2+y^2-z^2)=2+2-2=2$$。
• $$\Delta [(x^2+y^2+z^2-1)]=\Delta (x^2+y^2+z^2)=6$$。
• $$\Delta u=\Delta g-P\cdot 6=2-6P=0$$ ⇒ $$P=\frac{1}{3}$$。
• 因此 $$u=(x^2+y^2-z^2)-\frac{1}{3}(x^2+y^2+z^2-1)=\frac{2}{3}{x}^2+\frac{2}{3}{y}^2-\frac{4}{3}{z}^2+\frac{1}{3}$$。
• 表示为齐次调和多项式的和：常数 $$\frac{1}{3}$$ 是零次调和多项式，二次部分 $$\frac{2}{3}{x}^2+\frac{2}{3}{y}^2-\frac{4}{3}{z}^2$$ 是调和多项式（验证 $$\Delta =0$$)。定义 $$H=2z^2-x^2-y^2$$（调和），则 $$u=\frac{1}{3}-\frac{2}{3}H$$。
• 球坐标代入：$$x=\rho \sin \varphi \cos \theta$$, $$y=\rho \sin \varphi \sin \theta$$, $$z=\rho \cos \varphi$$，则 $$x^2+y^2={\rho }^2{\sin }^2\varphi$$, $$z^2={\rho }^2{\cos }^2\varphi$$，所以 $$u=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}{\rho }^2({\sin }^2\varphi -2{\cos }^2\varphi )=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}{\rho }^2(1-3{\cos }^2\varphi )$$.

(b) $$g=z(x^2+y^2)$$

• $$g$$ 是三次多项式，所以 $$m=3$$，$$P$$ 是次数为 $$m-2=1$$ 的多项式。由于 $$g$$ 具有旋转对称性（依赖于 $$z$$ 和 $$x^2+y^2$$)，设 $$P=cz$$（常数 $$c$$)。
• 设 $$u=g-P(x^2+y^2+z^2-1)=z(x^2+y^2)-cz(r^2-1)$$，其中 $$r^2=x^2+y^2+z^2$$。
• 计算 $$\Delta g=\Delta [z(x^2+y^2)]=4z$$。
• $$\Delta [z(r^2-1)]=10z$$（详细计算略）。
• $$\Delta u=4z-c\cdot 10z=0$$ ⇒ $$c=\frac{2}{5}$$。
• 因此 $$u=z(x^2+y^2)-\frac{2}{5}z(r^2-1)=\frac{3}{5}z{r}^2-z^3+\frac{2}{5}z$$。
• 表示为齐次调和多项式的和：一次调和多项式 $$\frac{2}{5}z$$，三次调和多项式 $$\frac{1}{5}z(3r^2-5z^2)$$（验证 $$\Delta =0$$)，所以 $$u=\frac{2}{5}z+\frac{1}{5}z(3r^2-5z^2)$$。
• 球坐标代入：$$z=\rho \cos \varphi$$, $$r^2={\rho }^2$$，所以 $$u=\frac{2}{5}\rho \cos \varphi +\frac{1}{5}\rho \cos \varphi (3{\rho }^2-5{\rho }^2{\cos }^2\varphi )=\frac{2}{5}\rho \cos \varphi +\frac{3}{5}{\rho }^3\cos \varphi -{\rho }^3{\cos }^3\varphi$$.

© $$g=xyz$$

• $$g$$ 是三次多项式，但计算 $$\Delta g=\Delta (xyz)=0$$，所以 $$g$$ 本身是调和函数。
• 因此 $$u=g=xyz$$。
• 表示为齐次调和多项式的和：$$xyz$$ 已经是三次齐次调和多项式。
• 球坐标代入：$$xyz={\rho }^3{\sin }^2\varphi \cos \varphi \sin \theta \cos \theta =\frac{1}{2}{\rho }^3{\sin }^2\varphi \cos \varphi \sin 2\theta$$.

其他部分的解答概要

对于其他部分，使用相同方法：设 $$u=g-P(r^2-1)$$，其中 $$P$$ 是次数 $$m-2$$ 的多项式，解 $$\Delta u=0$$ 求 $$P$$，然后表示 $$u$$ 为齐次调和多项式的和，并代入球坐标。

(d) $$g=x^4+y^4+z^4$$

• $$m=4$$，$$P$$ 是二次多项式。设 $$P=A{r}^2+B$$（对称性），解出 $$A=\frac{3}{5}$$, $$B=\frac{3}{5}$$。
• $$u=x^4+y^4+z^4-\frac{3}{5}(r^4-1)=\frac{2}{5}(x^4+y^4+z^4)-\frac{6}{5}(x^2{y}^2+x^2{z}^2+y^2{z}^2)+\frac{3}{5}$$。
• 齐次调和多项式：常数 $$\frac{3}{5}$$ 和四次调和多项式 $$\frac{2}{5}(x^4+y^4+z^4)-\frac{6}{5}(x^2{y}^2+x^2{z}^2+y^2{z}^2)$$。
• 球坐标代入： express in terms of $$\rho$$ and angles.

(e) $$g=x^4$$

• $$m=4$$，$$P$$ 是二次多项式。由于 $$g$$ 不对称，设 $$P=A{x}^2+B{y}^2+C{z}^2+D$$（通过对称性简化），解出 $$A=\frac{27}{35}$$, $$B=-\frac{3}{35}$$, $$C=-\frac{3}{35}$$, $$D=\frac{1}{5}$$。
• $$u=x^4-\frac{1}{35}(27x^2-3y^2-3z^2+7)(r^2-1)$$。
• 齐次调和多项式：分解为常数、二次和四次调和多项式。
• 球坐标代入： express in terms of $$\rho$$ and angles.

(f) $$g=(x^2+y^2{)}^2$$

• $$m=4$$，$$P$$ 是二次多项式。类似方法求解。

(j) $$g=x^{3}yz$$

• $$m=4$$，$$P$$ 是二次多项式。类似方法求解。

(k) $$g=(x^2+y^2{)}^2$$（与 (f) 相同）

(l) $$g=(x^2-y^2{)}^2$$

• $$m=4$$，$$P$$ 是二次多项式。类似方法求解。