C++算法·进制转换

引言

基础的十进制，即逢十进一
日常生活中用的就是十进制(不包括时间、角度等)
还有电脑中的机械语言用的二进制，即逢二进一
例如$(101{)}_2$表示二进制$101$,即十进制的$(5{)}_{10}$
至于怎么转换进制，就是本文要讲的内容

定义&规律

引言中有提到，有多种进制，如十进制、二进制等
具体的$x$进制就是每逢$x$进一位
我们用基础的十进制列表与八进制对比下

十进制	八进制
$(0{)}_{10}$	$(0{)}_8$
$(1{)}_{10}$	$(1{)}_8$
$(2{)}_{10}$	$(2{)}_8$
$(3{)}_{10}$	$(3{)}_8$
$(4{)}_{10}$	$(4{)}_8$
$(5{)}_{10}$	$(5{)}_8$
$(6{)}_{10}$	$(6{)}_8$
$(7{)}_{10}$	$(7{)}_8$
$(8{)}_{10}$	$(10{)}_8$
$(9{)}_{10}$	$(11{)}_8$
$(10{)}_{10}$	$(12{)}_8$
$(11{)}_{10}$	$(13{)}_8$
$......$	$......$

通过列表可以发现，在$0\sim 7$的十进制时，八进制与十进制的表示方法相同
但是到$8$时，八进制向左进位，最右边那一位变成$0$
十进制则到$10$才进位，这里就可以发现逢$x$进$1$的规律了

下面来些例题：

例题1：二进制 → 十进制 (基础)

题目： 将二进制数 1101.101 转换为十进制数。

解答：
转换分为整数部分（1101）和小数部分（.101）。

1. 整数部分 (1101)：从右向左，每位乘以2的位次幂（从0开始）。

   • 1 × 2⁰ = 1 × 1 = 1
   • 0 × 2¹ = 0 × 2 = 0
   • 1 × 2² = 1 × 4 = 4
   • 1 × 2³ = 1 × 8 = 8
   • 整数部分总和：8 + 4 + 0 + 1 = 13

2. 小数部分 (.101)：从左向右，每位乘以2的负位次幂（从-1开始）。

   • 1 × 2⁻¹ = 1 × (1/2) = 0.5
   • 0 × 2⁻² = 0 × (1/4) = 0
   • 1 × 2⁻³ = 1 × (1/8) = 0.125
   • 小数部分总和：0.5 + 0 + 0.125 = 0.625

3. 合并结果：13 + 0.625 = 13.625
   答案： (1101.101)₂ = (13.625)₁₀

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例题2：十进制 → 二进制 (基础)

题目： 将十进制数 18.625 转换为二进制数。

解答：
转换分为整数部分（18）和小数部分（.625）。

1. 整数部分 (18)：用“除2取余，逆序排列”法。

   • 18 ÷ 2 = 9 … 余0 (最低位)
   • 9 ÷ 2 = 4 … 余1
   • 4 ÷ 2 = 2 … 余0
   • 2 ÷ 2 = 1 … 余0
   • 1 ÷ 2 = 0 … 余1 (最高位)
   • 将余数从下往上排列：10010
   • 所以 (18)₁₀ = (10010)₂

2. 小数部分 (.625)：用“乘2取整，顺序排列”法。

   • 0.625 × 2 = 1.25 … 取整1 (最高位)
   • 0.25 × 2 = 0.5 … 取整0
   • 0.5 × 2 = 1.0 … 取整1 (最低位)
   • 将整数部分从上往下排列：.101
   • 所以 (0.625)₁₀ = (.101)₂

3. 合并结果：10010.101
   答案： (18.625)₁₀ = (10010.101)₂

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例题3：八进制 ↔ 二进制 (快捷方法)

题目： 将八进制数 57.24 转换为二进制数。

解答：
八进制和二进制有天然对应关系（1位八进制数对应3位二进制数）。

1. 将每位八进制数拆开：5, 7, ., 2, 4
2. 查阅或计算每位对应的3位二进制数：
   • 5 → 101
   • 7 → 111
   • 2 → 010
   • 4 → 100
3. 按顺序组合起来：101111.010100
4. 可以省略末尾不必要的0，写成 101111.0101
   答案： (57.24)₈ = (101111.0101)₂

逆向练习： 将二进制数 1100101.01101 转换为八进制数。

1. 以小数点为中心，向左向右每3位一组，不足的补0。
   • 整数部分 1100101 → 001 100 101 (补两个0)
   • 小数部分 .01101 → .011 010 (补一个0)
2. 将每3位二进制数转换为一位八进制数：
   • 001 → 1
   • 100 → 4
   • 101 → 5
   • 011 → 3
   • 010 → 2
3. 组合结果：145.32
   答案： (1100101.01101)₂ = (145.32)₈

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例题4：十六进制 ↔ 十进制 (综合)

题目： 将十六进制数 2A.8 转换为十进制数。

解答：
转换方法与二进制转十进制类似，但基数为16。注意字母 A 表示10。

1. 整数部分 (2A)：从右向左，每位乘以16的位次幂。

   • A(10) × 16⁰ = 10 × 1 = 10
   • 2 × 16¹ = 2 × 16 = 32
   • 整数部分总和：32 + 10 = 42

2. 小数部分 (.8)：从左向右，每位乘以16的负位次幂。

   • 8 × 16⁻¹ = 8 × (1/16) = 0.5

3. 合并结果：42 + 0.5 = 42.5
   答案： (2A.8)₁₆ = (42.5)₁₀

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例题5：任意进制 → 十进制 (进阶)

题目： 将五进制数 123.4 转换为十进制数。

解答：
方法通用，只需将基数改为5。

1. 整数部分 (123)₅：从右向左，每位乘以5的位次幂。

   • 3 × 5⁰ = 3 × 1 = 3
   • 2 × 5¹ = 2 × 5 = 10
   • 1 × 5² = 1 × 25 = 25
   • 整数部分总和：25 + 10 + 3 = 38

2. 小数部分 (.4)₅：从左向右，每位乘以5的负位次幂。

   • 4 × 5⁻¹ = 4 × (1/5) = 0.8

3. 合并结果：38 + 0.8 = 38.8
   答案： (123.4)₅ = (38.8)₁₀

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总结与技巧

转换类型	关键方法	技巧
N进制 → 十进制	按权展开求和	$\text{*①}$对每一位$\times N^{位数}$次方
十进制 → N进制	整数除N取余，小数乘N取整	整数部分倒序，小数部分正序
二进制 ↔ 八进制	三位一组	八进制是二进制的简写形式
二进制 ↔ 十六进制	四位一组	十六进制是二进制的更简形式

对$\text{*}$部分进行解释(即注释)
①如$(101{)}_2$展开得$1\times 2^0+0\times 2^1+1\times 2^2=1+2+4=7$

对于N进制转M进制
建议是转为十进制或者二进制再转化

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——例题由DeepSeek生成
(奇妙的$MarkDown$和符号我也看得迷糊)
总结是自己写的

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在C++中的运用

可以用string数组储存，然后逐位提取进行计算，最后再计算为其他进制
即可实现进制转换
给个好玩的思路：可以用二进制做加密器
代码放末尾
例：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int z2_10(string a){//二进制转十进制 int len=a.size();//长度int answer=0;//结果 int b=1;//从最低位开始,权重初始为1for(int i=len-1;i>=0;i--){if(a[i]=='1') {answer+=b;}b*=2;//每向左移动一位,权重乘以2}return answer;
}
int main(){string x;cin>>x;cout <<z2_10(x);return 0;
}

~ $完结撒花$ ~

附:这期没有题单
给的是较为基础的例题
下一篇预告：邻接表/…
加密器实现
我方和对方都要有的程序

#include<bits/stdc++.h>
#include <locale>
using namespace std;
int z2_10(string a){//二进制转十进制 int len=a.size();//长度int answer=0;//结果 int b=1;//从最低位开始,权重初始为1for(int i=len-1;i>=0;i--){if(a[i]=='1') {answer+=b;}b*=2;//每向左移动一位,权重乘以2}return answer;
}
string z10_2(int x){//十进制转二进制if(x==0)return "0";string answer="";//结果while(x>0){int now=x%2;//将余数转换为字符并添加到结果中answer+=(now+'0');// 除以2，继续处理下一位x/=2;}reverse(answer.begin(),answer.end());//反转字符串return answer;
}
string ST(const string&str){string result="";for(unsigned char c:str){result+=z10_2(static_cast<int>(c));result+="|";}if(!result.empty()) {result.pop_back();//移除最后一个分隔符}return result;
}//将字符串转换为UTF-8编码的二进制序列
string TS(const string&Str){string result ="";string byte="";for(char c:Str){if(c=='|'){if(!byte.empty()){int d=z2_10(byte);result+=static_cast<char>(d);byte="";}}else{byte+=c;}}if(!byte.empty()){int d=z2_10(byte);result+=static_cast<char>(d);}return result;
}//将二进制序列转换回字符串
int main(){int cse;cout <<"输入1加密,输入2破译\n";cin>>cse;cin.ignore();//清除输入缓冲区 if(cse==1){string x;cin>>x;cout <<ST(x)<<endl;}else if(cse==2){string x,noww="";cin>>x;string y=TS(x);cout <<y<<endl;}return 0;
}//已经是2.0版本,支持使用中文和符号