神经网络|(十八)概率论基础知识-伽马函数·下

【1】引言

前序学习进程中，已经对伽马函数阶乘表达式，积分式和阶乘式等价和阶乘的积分表达式。
今天来一起梳理一下，因为这个学习过程的确翻来覆去。

【2】阶乘式

证明$n!$可以改写成下式：
$$n!=li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n\cdot k!}{(n+1)(n+2)...(n+k)}$$这个式子的作用是，用$k$的幂次抵消乘积的增长，让极限趋向于有限值。
证明这个式子：
第一步：
$$(n+1)(n+2)...(n+k)=\frac{(n+k)!}{n!}$$
第二步，代入阶乘式有：
$$\begin{gathered} n!=li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n\cdot k!\cdot n!}{(n+k)!}= \\ n!li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n\cdot k!}{(n+k)!} \end{gathered}$$
所以对式子的证明，可以简化为：
$$li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n\cdot k!}{(n+k)!}=1$$

第三步：
因为：
$$(n+k)!=[k!][(k+1)(k+2)\cdot \cdot \cdot (k+n)]$$
所以：
$$\begin{gathered} li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n\cdot k!}{(n+k)!}= \\ li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n\cdot k!}{[k!][(k+1)(k+2)\cdot \cdot \cdot (k+n)]}= \\ li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n\cdot k!}{[k!][(k+1)(k+2)\cdot \cdot \cdot (k+n)]}= \\ li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n}{(k+1)(k+2)\cdot \cdot \cdot (k+n)} \end{gathered}$$
第四步：分母每个括号中都提取一个$k$：
$$\begin{gathered} li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n}{(k+1)(k+2)\cdot \cdot \cdot (k+n)}= \\ li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n}{[k(1+\frac{1}{k})][k(1+\frac{2}{k})]\cdot \cdot \cdot [k(1+\frac{n}{k})]}= \\ li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n}{k^n\cdot (1+\frac{1}{k})(1+\frac{2}{k})\cdot \cdot \cdot (1+\frac{n}{k})}= \\ li{m}_{k\to +\infty }\frac{1}{(1+\frac{1}{k})(1+\frac{2}{k})\cdot \cdot \cdot (1+\frac{n}{k})} \end{gathered}$$
对于上述计算式，当$k\to +\infty$时，分母的乘积为1，所以：
$$li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n}{(k+1)(k+2)\cdot \cdot \cdot (k+n)}=1$$

第五步，反过来再直接推一遍式子：
因为：
$$\begin{gathered} li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n}{(k+1)(k+2)\cdot \cdot \cdot (k+n)}=1 \\ =li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n\cdot k!}{k!\cdot (k+1)(k+2)\cdot \cdot \cdot (k+n)}= \\ li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n\cdot k!}{(k+n)!}=1 \end{gathered}$$
所以
$$\begin{gathered} n!=n!\cdot li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n\cdot k!}{(n+k)!}= \\ li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n\cdot k!\cdot n!}{(n+k)!}= \\ li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n\cdot k!}{(n+1)(n+2)...(n+k)} \end{gathered}$$

【3】对数积分表达式的指数形式

证明当$s$为正整数$n$时，
$${\int }_0^1(-lnt{)}^{s}dt={\int }_0^{+\infty }{u}^s{e}^{-u}du$$
首先令$u=-lnt$，有：$$\begin{gathered} du=-\frac{1}{t}dt \\ dt=-tdu \\ t=e^{-u} \end{gathered}$$
此时被积函数变换为：
$$(-lnt{)}^s=u^s$$
当$t\to 0^{+}$时，$u=-lnt=+\infty$
当$t\to 1$时，$u=-lnt=0$
将上述变换代入积分式：
$$\begin{gathered} {\int }_0^1(-lnt{)}^{s}dt={\int }_{+\infty }^0{u}^s(-t)du= \\ {\int }_{+\infty }^0{u}^s(-e^u)du={\int }_0^{+\infty }{u}^s{e}^{-u}du \end{gathered}$$

【4】阶乘和指数形式的积分表达式相等

当$s$为正整数$n$时，积分先写作：

$${\int }_0^1(-lnt{)}^{s}dt={\int }_0^{+\infty }{u}^n{e}^{-u}du$$
令$v=u^n,dw=e^{-u}du$，有：
$dv=n{u}^{n-1}du,w=-e^{-u}$
此时积分式转化为：
$$\begin{gathered} {\int }_0^1(-lnt{)}^{s}dt={\int }_0^{+\infty }{u}^n{e}^{-u}du= \\ {\int }_0^{+\infty }vdw=vw{|}_0^{+\infty }-{\int }_0^{+\infty }wdv= \\ (u^n(-e^{-u})){|}_0^{+\infty }+{\int }_0^{+\infty }n{u}^{n-1}{e}^{-u}du= \\ 0+{\int }_0^{+\infty }n{u}^{n-1}{e}^{-u}du=n{\int }_0^{+\infty }{u}^{n-1}{e}^{-u}du \end{gathered}$$
这时候先暂停一下，根据前述推导有：
$${\int }_0^1(-lnt{)}^{s}dt={\int }_0^{+\infty }{u}^n{e}^{-u}du=n{\int }_0^{+\infty }{u}^{n-1}{e}^{-u}du$$按照这个形式，会有：
$$\begin{gathered} {\int }_0^1(-lnt{)}^{s}dt={\int }_0^{+\infty }{u}^n{e}^{-u}du=n{\int }_0^{+\infty }{u}^{n-1}{e}^{-u}du= \\ n(n-1){\int }_0^{+\infty }{u}^{n-2}{e}^{-u}du=...= \\ n(n-1)...2{\int }_0^{+\infty }{u}^1{e}^{-u}du= \\ n(n-1)...2\cdot 1{\int }_0^{+\infty }{u}^0{e}^{-u}du=n! \end{gathered}$$至此可知，当$s$为正整数$n$时，
$${\int }_0^1(-lnt{)}^{s}dt=s!$$

【5】说明

实际上这里展示了两种阶乘表达式：
$$n!=li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n\cdot k!}{(n+1)(n+2)...(n+k)}$$
$${\int }_0^1(-lnt{)}^{s}dt={\int }_0^{+\infty }{u}^n{e}^{-u}du=s!(s为整数，用n代表整数)$$

【6】总结

学习了伽马函数的推导过程。