【高等数学】第十一章 曲线积分与曲面积分——第一节 对弧长的曲线积分

上一节：【高等数学】第十章 重积分——第五节 含参变量的积分
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1. 对弧长的曲线积分的概念与性质

• 曲线形构件的质量
  • 问题描述
    假设曲线形构件所处的位置在 $xOy$ 面内的一段曲线弧 $L$ 上，它的端点是 $A、B$，在 $L$ 上任一点 $(x,y)$ 处，它的线密度为 $\mu (x,y)$。
    求这构件的质量 $m$。
  • 解法
    用 $L$ 点上的 $M_1,M_2,\cdots ,M_{n-1}$ 把 $L$ 分成 $n$ 个小段，在线密度连续变化的前提下，只要这小段很短，就可以用这小段上任一点 $({\xi }_i,{\eta }_i)$ 处的线密度代替这小段上其他各点处的线密度，从而得到这小段构件的质量的近似值为$$\mu ({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta s_i,$$其中 $\Delta s_i$ 表示 $\widehat{M_{i-1}{M}_i}$ 的长度，于是整个曲线形构件的质量为$$m\approx \sum _{i=1}^n\mu ({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta s_i.$$用 $\lambda$ 表示 $n$ 个小弧段的最大长度。为了计算 $m$ 的精确值，取上式右端之和当 $\lambda \to 0$ 时的极限，从而得到$$m=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n\mu ({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta s_i$$
• 对弧长的曲线积分定义
  $L$ 为 $xOy$ 面内的一条光滑曲线弧，函数 $f(x,y)$ 在 $L$ 上有界。
  在 $L$ 上任意插入一点 $M_1$，$M_2$，$\cdots$，$M_n$，将 $L$ 分成 $n$ 个段。
  第 $i$ 个小段的长度为 $\Delta s_i$，$({\xi }_i,{\eta }_i)$ 为第 $i$ 个小段上任意选取的一点，作乘积 $f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta s_i$（$i=1,2,\cdots ,n$），并作和 $\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta s_i$，
  如果当各小弧段的长度的最大值 $\lambda \to 0$ 时，这和的极限总存在，并且与曲线弧 $L$ 的分法及点 $({\xi }_i,{\eta }_i)$ 的取法无关，
  那么称此极限为函数 $f(x,y)$ 在曲线弧 $L$ 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作 ${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s$，即∫Lf(x,y)ds=lim⁡λ→0∑i=1n{f(ξi,ηi)}Δsi\int\limits_{L}f(x,y)\mathrm{d}s=\lim\limits_{\lambda\to0}\sum\limits_{i=1}^{n}\{f(\xi_i,\eta_i)\}\Delta s_iL∫​f(x,y)ds=λ→0lim​i=1∑n​{f(ξi​,ηi​)}Δsi​其中 $f(x,y)$ 叫做被积函数，$L$ 叫做积分弧段。
• 对弧长的曲线积分存在
  当$f(x,y)$在光滑曲线弧$L$上连续时，对弧长的曲线积分${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s$是存在的
• 推广到三维
  函数 $f(x,y,z)$ 在曲线弧 $\Gamma$ 上对弧长的曲线积分$${\int }_{\Gamma }f(x,y,z)\mathrm{d}s=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta s_i.$$
• 分段光滑
  如果 $L$（或 $\Gamma$）是分段光滑的，规定函数在 $L$（或 $\Gamma$）上的曲线积分等于函数在光滑各段上的曲线积分之和。即$${\int }_{L_1+L_2}f(x,y)\mathrm{d}s={\int }_{L_1}f(x,y)\mathrm{d}s+{\int }_{L_2}f(x,y)\mathrm{d}s.$$
• 闭曲线
  如果$L$是闭曲线，那么函数$f(x,y)$在闭曲线$L$上对弧长的曲线积分记为${\oint }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s$
• 对弧长的曲线积分性质
  • 线性性
    设$\alpha ,\beta$ 为常数，则$${\int }_L[\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)]\mathrm{d}s=\alpha {\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s+\beta {\int }_{L}g(x,y)\mathrm{d}s.$$
  • 叠加性
    若积分弧段$L$可分成两段光滑曲线弧$L_1$和$L_2$，则$${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s={\int }_{L_1}f(x,y)\mathrm{d}s+{\int }_{L_2}f(x,y)\mathrm{d}s.$$
  • 积分比较
    设在L上$f(x,y)⩽g(x,y)$，则$${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s⩽{\int }_{L}g(x,y)\mathrm{d}s.$$特别地，有$$\left|{\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s\right|⩽{\int }_L|f(x,y)|\mathrm{d}s.$$

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